Encontre, caso exista(m), a(s) assíntota(s) horizontal(is) e a(s) assíntota(s) vertical(is), e trace um esboço do gráfico da função definida por f(x)=3x^2/(x^2-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função e fazer um esboço do gráfico. Isso envolve entender o que são assíntotas e como identificá-las em funções racionais (frações em que o numerador e o denominador são polinômios). Vamos precisar lembrar de como analisar os graus dos polinômios e resolver equações para encontrar onde a função pode ter comportamentos especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar pelas assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram para onde a função se aproxima quando vai para ou .
Para encontrar isso, comparamos o grau do polinômio no numerador com o do denominador.
  • Grau do numerador: O número mais alto de no numerador é 2 ( ), então o grau é 2.
  • Grau do denominador: No denominador, temos , onde o tem grau 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais. Aqui, o coeficiente principal do numerador é 3 e do denominador é 1.
Então, a assíntota horizontal é:

Passo 3

Agora, vamos buscar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de que fazem o denominador ser zero (pois aí a função não está definida) e o numerador não anula.
Vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Então, temos duas possíveis assíntotas verticais em e .
Vamos verificar se o numerador não é zero nesses pontos:
  • Para :
  • Para :
Como o numerador não é zero nesses pontos, confirmamos que temos assíntotas verticais em e .

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico da função, considerando as assíntotas encontradas.
  1. Assíntota Horizontal:
  2. Assíntotas Verticais: e
Comportamento da função:
  • Para : A função se aproxima da assíntota horizontal conforme aumenta.
  • Para : A função tende a quando se aproxima de e a quando se aproxima de .
  • Para : Similar a , a função se aproxima de conforme diminui.
No esboço, desenhamos as linhas das assíntotas e a curva da função que se aproxima delas sem nunca tocá-las.

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal em e duas assíntotas verticais em e . O esboço do gráfico inclui essas assíntotas, com a curva da função se aproximando delas conforme varia.

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