Encontre, caso exista(m), a(s) assíntota(s) horizontal(is) e a(s) assíntota(s) vertical(is), e trace um esboço do gráfico da função definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função
e fazer um esboço do gráfico. Isso envolve entender o que são assíntotas e como identificá-las em funções racionais (frações em que o numerador e o denominador são polinômios). Vamos precisar lembrar de como analisar os graus dos polinômios e resolver equações para encontrar onde a função pode ter comportamentos especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar pelas assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram para onde a função se aproxima quando
vai para
ou
.
Para encontrar isso, comparamos o grau do polinômio no numerador com o do denominador.
- Grau do numerador: O número mais alto de
no numerador é 2 ( ), então o grau é 2. - Grau do denominador: No denominador, temos
, onde o tem grau 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais. Aqui, o coeficiente principal do numerador é 3 e do denominador é 1.
Então, a assíntota horizontal é:
Passo 3
Agora, vamos buscar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de
que fazem o denominador ser zero (pois aí a função não está definida) e o numerador não anula.
Vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Então, temos duas possíveis assíntotas verticais em
e
.
Vamos verificar se o numerador não é zero nesses pontos:
- Para
:
- Para
:
Como o numerador não é zero nesses pontos, confirmamos que temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico da função, considerando as assíntotas encontradas.
- Assíntota Horizontal:
- Assíntotas Verticais:
e
Comportamento da função:
- Para
: A função se aproxima da assíntota horizontal conforme aumenta. - Para
: A função tende a quando se aproxima de e a quando se aproxima de . - Para
: Similar a , a função se aproxima de conforme diminui.
No esboço, desenhamos as linhas das assíntotas e a curva da função que se aproxima delas sem nunca tocá-las.
Resposta
A função
possui uma assíntota horizontal em
e duas assíntotas verticais em
e
. O esboço do gráfico inclui essas assíntotas, com a curva da função se aproximando delas conforme
varia.