Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para e determine o raio de convergência.
(g) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função em torno de 0, e também determinar o raio de convergência dessa série.
Para isso, vamos precisar saber como expandir a função cosseno em série de potências e entender o que é raio de convergência. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências para o cosseno. A série de Taylor do cosseno em torno de 0 é:
Aqui, é a variável da função cosseno. No nosso caso, temos , então vamos substituir por .
Passo 3
Substituindo na série do cosseno, ficamos com:
Simplificando :
Então, a série fica:
Passo 4
Agora, lembrando que nossa função original é . Vamos multiplicar a série que encontramos por :
Multiplicando dentro da série:
Passo 5
Então, a representação em série de potências para em torno de 0 é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar até onde a série converge.
O Teste da Razão diz que para uma série , o raio de convergência é dado por:
Vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 7
Identificando na nossa série:
Calculando :
Agora, montamos a razão:
Simplificando:
Passo 8
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como o limite é 0 para qualquer valor de , isso significa que a série converge para todo .
Passo 9
O raio de convergência é infinito, pois a série converge para qualquer valor de .
Resposta
A representação em série de potências para em torno de 0 é: