Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para f(x) e determine o raio de convergência.
(g) f(x) = x cos(2 x^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função em torno de 0, e também determinar o raio de convergência dessa série.
Para isso, vamos precisar saber como expandir a função cosseno em série de potências e entender o que é raio de convergência. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências para o cosseno. A série de Taylor do cosseno em torno de 0 é:
Aqui, é a variável da função cosseno. No nosso caso, temos , então vamos substituir por .

Passo 3

Substituindo na série do cosseno, ficamos com:
Simplificando :
Então, a série fica:

Passo 4

Agora, lembrando que nossa função original é . Vamos multiplicar a série que encontramos por :
Multiplicando dentro da série:

Passo 5

Então, a representação em série de potências para em torno de 0 é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar até onde a série converge.
O Teste da Razão diz que para uma série , o raio de convergência é dado por:
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 7

Identificando na nossa série:
Calculando :
Agora, montamos a razão:
Simplificando:

Passo 8

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como o limite é 0 para qualquer valor de , isso significa que a série converge para todo .

Passo 9

O raio de convergência é infinito, pois a série converge para qualquer valor de .

Resposta

A representação em série de potências para em torno de 0 é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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