Use o Teorema do Sanduíche para encontrar lim x 0 f(x), sabendo que a função f é tal que cos ^2 x <= f(x) <= x^2+1, para todo x no intervalo aberto ] -pi2, pi2[. Explique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite de quando se aproxima de 0, usando o Teorema do Sanduíche. A função está entre e para todo no intervalo aberto . Vamos precisar entender esse teorema e calcular os limites das funções que estão “escondendo” o .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema do Aperto). Ele diz que se temos três funções, digamos para todo próximo de um ponto (exceto talvez no próprio ponto), e se os limites de e quando se aproxima desse ponto são iguais, então o limite de também é esse mesmo valor.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, temos:
cos^2 x <= f(x) <= x^2 + 1
Queremos encontrar . Para isso, vamos calcular os limites de e de quando se aproxima de 0.

Passo 4

Primeiro, calculando cos^2 0 = (1)^2 = 1 :
Sabemos que limx 0 cos^2 x = 1 , então:
Portanto:

Passo 5

Agora, calculando 0 + 1 = 1 :
Sabemos que limx 0 (x^2 + 1) = 1 tende a 0 quando tende a 0, então:
Portanto:

Passo 6

Como os limites de limx 0 f(x) = 1 e são iguais a 1 quando se aproxima de 0, pelo Teorema do Sanduíche, podemos concluir que:

Resposta

limx 0 f(x) = 1

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