Use o Teorema do Sanduíche para encontrar
, sabendo que a função
é tal que
, para todo
no intervalo aberto
. Explique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0, usando o Teorema do Sanduíche. A função
está entre
e
para todo
no intervalo aberto
. Vamos precisar entender esse teorema e calcular os limites das funções que estão “escondendo” o
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema do Aperto). Ele diz que se temos três funções, digamos
para todo
próximo de um ponto (exceto talvez no próprio ponto), e se os limites de
e
quando
se aproxima desse ponto são iguais, então o limite de
também é esse mesmo valor.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema, temos:
Queremos encontrar
. Para isso, vamos calcular os limites de
e de
quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Primeiro, calculando
:
Sabemos que , então:
Sabemos que
Portanto:
Passo 5
Agora, calculando
:
Sabemos que tende a 0 quando
tende a 0, então:
Sabemos que
Portanto:
Passo 6
Como os limites de
e
são iguais a 1 quando
se aproxima de 0, pelo Teorema do Sanduíche, podemos concluir que: