(Fatec-SP) Se a média aritmética dos 31 termos de uma progressão aritmética é 78 , então o
termo dessa progressão é:
a) 54
b) 66
(c) 78
d) 82
e) 96
a) 54
b) 66
(c) 78
d) 82
e) 96
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
- A sequência é uma progressão aritmética (PA) com
termos. - A média aritmética dos
termos vale . - A pergunta: qual é o
termo dessa PA?
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma PA e as notações básicas (para você conseguir usar isso na prova):
- Denotamos o primeiro termo por
. - Denotamos a razão por
(a diferença que se soma a cada passo). - O termo de ordem
é dado por
Aqui
é o
-ésimo termo,
é o primeiro termo e
é a razão. Essa fórmula é essencial: ela diz que para ir do primeiro termo até o
-ésimo somamos
exatamente
vezes.
Passo 3
Agora a média dos termos de uma PA e por que ela tem uma forma simples:
- A soma dos
termos de uma PA é dada por
onde
é o último termo. Essa fórmula vem de somar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc.; cada par soma
e há
pares (quando
é par) — e a fórmula vale também por continuidade quando
é ímpar.
- A média aritmética dos
termos é a soma dividida por :
Ou seja: a média dos termos de uma PA é simplesmente a média do primeiro e do último termo. Nesta fórmula,
representa a média,
a soma dos
termos,
e
os primeiros e últimos termos.
Passo 4
Propriedade importante para o caso de
ímpar (isso é o que resolve a questão de forma direta):
- Se
é ímpar, existe um termo exatamente no meio: o termo de índice . Esse termo é chamado termo central. - Vamos verificar que esse termo central é igual à média
. Calculando o termo central:
Multiplicando por
:
Mas o último termo é
. Somando
dá:
Portanto
Conclusão: para
ímpar, o termo central (o de índice
) é exatamente a média dos termos da PA. Isso significa que a média aritmética dada no enunciado é igual ao termo do meio da PA.
Passo 5
Aplicando ao problema concreto:
- Aqui
, que é ímpar. - O índice do termo central é
. Ou seja, o termo é o termo do meio. - Pela propriedade do passo anterior, o
termo é igual à média dos termos, que foi dada como .
Passo 6
Pequeno exemplo para fixar (pra você poder replicar rápido na prova): se uma PA tem
termos e média
, o termo central é o
e vale
. Sempre que
for ímpar você pode responder direto: termo central = média.
Resposta
c) 78