(Fatec-SP) Se a média aritmética dos 31 termos de uma progressão aritmética é 78 , então o 16^{\circ} termo dessa progressão é:
a) 54
b) 66
(c) 78
d) 82
e) 96

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
  • A sequência é uma progressão aritmética (PA) com 31 termos.
  • A média aritmética dos 31 termos vale 78.
  • A pergunta: qual é o 16^{\circ} termo dessa PA?

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma PA e as notações básicas (para você conseguir usar isso na prova):
  • Denotamos o primeiro termo por a_1.
  • Denotamos a razão por d (a diferença que se soma a cada passo).
  • O termo de ordem k é dado por
a_k = a_1 + (k-1)d.
Aqui a_k é o k-ésimo termo, a_1 é o primeiro termo e d é a razão. Essa fórmula é essencial: ela diz que para ir do primeiro termo até o k-ésimo somamos d exatamente (k-1) vezes.

Passo 3

Agora a média dos termos de uma PA e por que ela tem uma forma simples:
  • A soma dos n termos de uma PA é dada por
S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr),
onde a_n é o último termo. Essa fórmula vem de somar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc.; cada par soma a_1+a_n e há n/2 pares (quando n é par) — e a fórmula vale também por continuidade quando n é ímpar.
  • A média aritmética dos n termos é a soma dividida por n:
\overline{a}=\frac{S_n}{n}=\frac{a_1+a_n}{2}.
Ou seja: a média dos termos de uma PA é simplesmente a média do primeiro e do último termo. Nesta fórmula, \overline{a} representa a média, S_n a soma dos n termos, a_1 e a_n os primeiros e últimos termos.

Passo 4

Propriedade importante para o caso de n ímpar (isso é o que resolve a questão de forma direta):
  • Se n é ímpar, existe um termo exatamente no meio: o termo de índice (n+1)/2. Esse termo é chamado termo central.
  • Vamos verificar que esse termo central é igual à média \dfrac{a_1+a_n}{2}. Calculando o termo central:
a_{\frac{n+1}{2}} = a_1 + \Bigl(\frac{n+1}{2}-1\Bigr)d = a_1 + \frac{n-1}{2}\,d.
Multiplicando por 2:
2a_{\frac{n+1}{2}} = 2a_1 + (n-1)d.
Mas o último termo é a_n = a_1 + (n-1)d. Somando a_1 + a_n dá:
a_1 + a_n = a_1 + \bigl(a_1 + (n-1)d\bigr) = 2a_1 + (n-1)d.
Portanto
2a_{\frac{n+1}{2}} = a_1 + a_n \quad\Rightarrow\quad a_{\frac{n+1}{2}} = \frac{a_1 + a_n}{2}.
Conclusão: para n ímpar, o termo central (o de índice (n+1)/2) é exatamente a média dos termos da PA. Isso significa que a média aritmética dada no enunciado é igual ao termo do meio da PA.

Passo 5

Aplicando ao problema concreto:
  • Aqui n=31, que é ímpar.
  • O índice do termo central é \dfrac{31+1}{2}=\dfrac{32}{2}=16. Ou seja, o 16^{\circ} termo é o termo do meio.
  • Pela propriedade do passo anterior, o 16^{\circ} termo é igual à média dos 31 termos, que foi dada como 78.

Passo 6

Pequeno exemplo para fixar (pra você poder replicar rápido na prova): se uma PA tem 5 termos e média 10, o termo central é o 3^{\circ} e vale 10. Sempre que n for ímpar você pode responder direto: termo central = média.

Resposta

c) 78

Exercícios relacionados