Encontre o centro de massa de uma lâmina fina limitada pela parábola x=y-y^2 e pela reta x+y=0 se a densidade for de<a(x, y)=x+y.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina de densidade de<a(x,y)=x+y no domínio D limitado pela parábola
x=y-y^2
e pela reta
x+y=0
O conteúdo aqui é cálculo de centro de massa bidimensional, usando as fórmulas
M=integral duplaDde<a(x,y),dA, bar x=1Mintegral duplaDx,de<a(x,y),dA, bar y=1Mintegral duplaDy,de<a(x,y),dA

Passo 2

Precisamos descrever D em iterados: as interseções de
y-y^2=-y
dão y(2-y)=0, ou seja y=0 e y=2. Para cada yin[0,2], x varia de x=-y até x=y-y^2. Assim
M=integraly=0^2integralx=-y^,y-y^2(x+y),dx,dy

Passo 3

Calculemos
integral-y^y-y^2(x+y),dx =gl[tfracx^22+yxgr]x=-y^,y-y^2 =y^42-2y^3+2y^2
Então
M=integral0^2l(y^42-2y^3+2y^2r)dy =l[tfracy^510-tfracy^42+tfrac2y^33r]0^2 =815

Passo 4

O momento em y!-eixo é
integral duplaDx,de<a,dA =integral0^2integral-y^,y-y^2x(x+y),dx,dy
Fazendo as contas, chega-se a
integral duplaDx,de<a,dA=-835

Passo 5

O momento em x!-eixo é
integral duplaDy,de<a,dA =integral0^2integral-y^,y-y^2y(x+y),dx,dy =integral0^2l(2y^3-2y^4+tfracy^52r)dy =815

Passo 6

Agora as coordenadas do centro de massa são
bar x=1Mintegral duplaDx,de<a,dA =-tfrac835tfrac815 =-37, bar y=1Mintegral duplaDy,de<a,dA =tfrac815tfrac815 =1

Resposta

l(bar x,bar yr)=l(-tfrac37,,1r)

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