O volume de uma bolinha de naftalina em formato esférico decresce a uma taxa igual ao dobro de sua área superficial, mantendo-se sempre na forma esférica. Determine uma expressão para o volume de naftalina em cada tempo t em função de seu raio inicial R0.
Resposta: V(t)=43 pi(-2 t+R0)^3.

Passo 1

O enunciado diz que uma bolinha de naftalina, sempre esférica, tem volume decrescendo à razão igual ao dobro de sua área superficial. O conteúdo é equações diferenciais e taxas relacionadas; vamos usar as fórmulas de volume e área de uma esfera e aplicar a relação dada.

Passo 2

Denotando por r(t) o raio em função do tempo, temos as fórmulas:
V = 43pi r^3,
S = 4pi r^2

Passo 3

Pela regra da cadeia,
dVdt = dVdr,drdt = 4pi r^2,drdt
Como a bolinha perde volume à razão igual a -2 vezes a área, também vale
dVdt = -2,S = -2cdot 4pi r^2 = -8pi r^2
Igualando as duas expressões de tfracdVdt,
4pi r^2,drdt = -8pi r^2 Longrightarrow drdt = -2

Passo 4

A equação tfracdrdt = -2 é separável e trivial de integrar:
r(t) = -2t + C
Como no instante inicial t=0 o raio é r(0)=R0, segue C=R0 e
r(t) = R0 - 2t

Passo 5

Substituindo r(t) em V=tfrac43pi r^3, obtemos a expressão do volume ao tempo t:
V(t) = 43pil(R0-2tr)^3

Resposta

V(t)=43pil(R0-2tr)^3

Exercícios relacionados