O volume de uma bolinha de naftalina em formato esférico decresce a uma taxa igual ao dobro de sua área superficial, mantendo-se sempre na forma esférica. Determine uma expressão para o volume de naftalina em cada tempo
em função de seu raio inicial
.
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
O enunciado diz que uma bolinha de naftalina, sempre esférica, tem volume decrescendo à razão igual ao dobro de sua área superficial. O conteúdo é equações diferenciais e taxas relacionadas; vamos usar as fórmulas de volume e área de uma esfera e aplicar a relação dada.
Passo 2
Denotando por
o raio em função do tempo, temos as fórmulas:
Passo 3
Pela regra da cadeia,
Como a bolinha perde volume à razão igual a
vezes a área, também vale
Igualando as duas expressões de
,
Passo 4
A equação
é separável e trivial de integrar:
Como no instante inicial
o raio é
, segue
e
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a expressão do volume ao tempo
: