Encontre o centro e o raio de convergência das séries de potências
\sum \frac{e^{n}}{2^{2 n}}(x-\sqrt{3})^{3 n-5}

Passo 1

O enunciado pede o centro e o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{n}}{2^{2n}}\bigl(x-\sqrt{3}\bigr)^{3n-5}.
O conteúdo principal é determinação de raio de convergência de série de potências usando o teste da razão.

Passo 2

Para identificar o centro basta notar que a série está em potências de (x-\sqrt{3}). Logo, o centro é
c = \sqrt{3}.

Passo 3

Denotemos o termo geral por
T_{n} = \frac{e^{n}}{2^{2n}}\bigl(x-c\bigr)^{3n-5}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
\biggl|\frac{T_{n+1}}{T_{n}}\biggr| = \frac{e^{\,n+1}}{2^{2(n+1)}}\;\bigl|x-c\bigr|^{3(n+1)-5} \;\bigg/\;\frac{e^{n}}{2^{2n}}\;\bigl|x-c\bigr|^{3n-5}.
Simplificando,
\biggl|\frac{T_{n+1}}{T_{n}}\biggr| = e\;\frac{1}{2^{2}}\;\bigl|x-c\bigr|^{3} = \frac{e}{4}\,\bigl|x-c\bigr|^{3}.

Passo 4

Para convergência pelo teste da razão, precisamos
\lim_{n\to\infty}\bigl|\tfrac{T_{n+1}}{T_{n}}\bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{e}{4}\,\bigl|x-c\bigr|^{3}<1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|x-\sqrt{3}\bigr|^{3}<\frac{4}{e}.
Tomando a raiz cúbica em ambos os lados, obtemos o raio de convergência
R = \Bigl(\tfrac{4}{e}\Bigr)^{1/3}.

Resposta

centro: \sqrt{3}
raio de convergência: \displaystyle \bigl(\tfrac{4}{e}\bigr)^{1/3}

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