XXVI.
Determine o intervalo de convergència
\sum n!x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} n!\,x^{n}.
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Denotemos a_{n}=n!\,x^{n}. O teste da razão diz que a série converge se
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| < 1.

Passo 3

Calculamos a razão dos termos sucessivos:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \frac{(n+1)!\,|x|^{\,n+1}}{n!\,|x|^{\,n}} = (n+1)\,|x|.
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L = \lim_{n\to\infty} (n+1)\,|x|.

Passo 4

Se x\neq0, então (n+1)\,|x|\to\infty, ou seja, L=\infty>1 e a série diverge.
Se x=0, todos os termos a partir de n=1 são 0 e a série converge trivialmente.

Resposta

O único ponto de convergência é x=0. Portanto, o intervalo de convergência é \{0\}.

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