XXVI. Determine o intervalo de convergència \sum n!x^{n} Passo 1O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} n!\,x^{n}. O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência. Passo 2Denotemos a_{n}=n!\,x^{n}. O teste da razão diz que a série converge se L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| < 1. Passo 3Calculamos a razão dos termos sucessivos: \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \frac{(n+1)!\,|x|^{\,n+1}}{n!\,|x|^{\,n}} = (n+1)\,|x|. Logo L = \lim_{n\to\infty} (n+1)\,|x|. Passo 4Se x\neq0, então (n+1)\,|x|\to\infty, ou seja, L=\infty>1 e a série diverge. Se x=0, todos os termos a partir de n=1 são 0 e a série converge trivialmente. RespostaO único ponto de convergência é x=0. Portanto, o intervalo de convergência é \{0\}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre o centro e o raio de convergência das séries de potências \sum \frac{e^{n}}{2^{2 n}}(x-\sqrt{3})^{3 n-5} XXI. Verifique a convergência das seguintes séries \sum \frac{2^{n}}{n^{2}}\, XXVIII. { }^{11} Mostre que (1+x)^{k}=1+k x+\frac{k(k-1)}{2!} x^{2}+\frac{k(k-1)(k-2)}{3!} x^{3}+\cdots XXIX. { }^{12} Encontre a série de MacLaurin de f(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t.