XXI.
Verifique a convergência das seguintes séries
\sum \frac{2^{n}}{n^{2}}\,

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{2}}.
O assunto aqui é testes de convergência para séries de termos positivos, em particular o teste da razão (ou, alternativamente, o teste da raiz).

Passo 2

Como todos os termos a_{n} = \frac{2^{n}}{n^{2}} são positivos, aplicamos o teste da razão, que diz: se
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}
existe e L>1, a série diverge; se L<1, ela converge absolutamente; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)^{2}}}{\frac{2^{n}}{n^{2}}} =2\;\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} =2\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}2\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2} =2\cdot1^{2} =2.

Passo 4

Como L=2>1, o teste da razão garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}}
diverge.

Resposta

A série diverge.

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