XXI.
Verifique a convergência das seguintes séries
\sum \frac{1+(-1)^{n}}{4^{2 n}}\,

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^n}{4^{2n}}.
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar testes de convergência, em particular a comparação com uma série geométrica e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro observe o comportamento do numerador 1+(-1)^n:
  • Se n é par, então (-1)^n=1 e 1+(-1)^n=2.
  • Se n é ímpar, então (-1)^n=-1 e 1+(-1)^n=0.
    Logo a série só tem termos não nulos quando n é par.

Passo 3

Para testar convergência absoluta, calcule
\biggl|\frac{1+(-1)^n}{4^{2n}}\biggr|\le \frac{2}{4^{2n}} =\frac{2}{(4^2)^n} =\frac{2}{16^n}.
Como \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{16^n} é uma série geométrica de razão 1/16<1, ela converge. Pelo teste da comparação, a série original converge absolutamente.

Passo 4

Convergência absoluta implica convergência simples. Portanto, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^n}{4^{2n}}
é convergente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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