XXI.
Verifique a convergência das seguintes séries \sum \frac{1+(-1)^{n}}{4^{2 n}}\,
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^n}{4^{2n}}.
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar testes de convergência, em particular a comparação com uma série geométrica e o conceito de convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro observe o comportamento do numerador 1+(-1)^n:
Se n é par, então (-1)^n=1 e 1+(-1)^n=2.
Se n é ímpar, então (-1)^n=-1 e 1+(-1)^n=0.
Logo a série só tem termos não nulos quando n é par.
Como \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{16^n} é uma série geométrica de razão 1/16<1, ela converge. Pelo teste da comparação, a série original converge absolutamente.
Passo 4
Convergência absoluta implica convergência simples. Portanto, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^n}{4^{2n}}
é convergente.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.