XXVIII.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para expandir a potência geral
em série de potências, ou seja, encontrar coeficientes
tais que
O conteúdo é o Teorema de Taylor (ou Maclaurin) para funções analíticas em
.
Passo 2
Definimos
. Sabemos que a fórmula de Taylor ao redor de
é
Então precisamos de uma expressão para a derivada
-ésima
.
Passo 3
Observando as primeiras derivadas:
podemos usar indução para concluir que, para todo inteiro
,
Passo 4
Em particular, avaliando em
fica
pois
. Logo, o coeficiente geral da série é
Passo 5
Substituindo em Taylor, obtemos a expansão