XXVIII. { }^{11} Mostre que (1+x)^{k}=1+k x+\frac{k(k-1)}{2!} x^{2}+\frac{k(k-1)(k-2)}{3!} x^{3}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para expandir a potência geral (1+x)^{k} em série de potências, ou seja, encontrar coeficientes a_{n} tais que
(1+x)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.
O conteúdo é o Teorema de Taylor (ou Maclaurin) para funções analíticas em x=0.

Passo 2

Definimos f(x)=(1+x)^{k}. Sabemos que a fórmula de Taylor ao redor de 0 é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n}.
Então precisamos de uma expressão para a derivada n-ésima f^{(n)}(x).

Passo 3

Observando as primeiras derivadas:
f'(x)=k(1+x)^{k-1},\quad f''(x)=k(k-1)(1+x)^{k-2},\;\dots,
podemos usar indução para concluir que, para todo inteiro n\ge1,
f^{(n)}(x)=k\,(k-1)(k-2)\cdots\bigl(k-n+1\bigr)\,(1+x)^{k-n}.

Passo 4

Em particular, avaliando em x=0 fica
f^{(n)}(0) =k\,(k-1)\,(k-2)\cdots\bigl(k-n+1\bigr),
pois (1+0)^{k-n}=1. Logo, o coeficiente geral da série é
a_{n} =\frac{f^{(n)}(0)}{n!} =\frac{k\,(k-1)\,(k-2)\cdots(k-n+1)}{n!}.

Passo 5

Substituindo em Taylor, obtemos a expansão
(1+x)^{k} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}\,x^{n} =1+kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^{2}+\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^{3}+\cdots.

Resposta

(1+x)^{k} =1+kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^{2}+\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^{3}+\cdots.

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