Encontre um vetor unitário ortogonal a vec{a}=(3,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um vetor unitário ortogonal a \vec{a} = (3,-1,2). Vamos usar produto escalar para garantir ortogonalidade e norma de vetor para obter o vetor unitário.

Passo 2

Seja \vec{v}=(v_1,v_2,v_3). A condição de ortogonalidade é
\vec{a}\cdot\vec{v}=0
ou seja
3v_1 - v_2 + 2v_3 = 0.
Para simplificar, escolhemos v_3=0 e v_1=1. Daí v_2 deve satisfazer 3\cdot1 - v_2 = 0, logo v_2=3. Assim
\vec{v} = (1,3,0).

Passo 3

Calculamos a norma de \vec{v} por
\|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}} = \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{10}.

Passo 4

O vetor unitário \vec{u} é dado por
\vec{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,\tfrac{3}{\sqrt{10}},\,0\Bigr).

Resposta

\displaystyle \Bigl(\frac{1}{\sqrt{10}},\,\frac{3}{\sqrt{10}},\,0\Bigr)

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