Encontre o centróide da região semicircular limitada pelo eixo
e pela curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o centroide de uma região semicircular que está limitada pelo eixo $ x $ e pela curva $ y = \sqrt{1 - x^2} $. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente na área de Geometria Analítica e Integral. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de integrais para encontrar as coordenadas do centroide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centroide. O centroide é o “ponto médio” de uma figura plana, onde se pode imaginar que toda a massa da figura está concentrada. Para encontrar as coordenadas $ (\overline{x}, \overline{y}) $ do centroide, usamos as seguintes fórmulas:
Aqui, $ A $ é a área da região, $ f(x) $ é a função que define a curva (no nosso caso, $ y = \sqrt{1 - x^2} $), e os limites de integração $ a $ e $ b $ são os pontos onde a curva intercepta o eixo $ x $.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar a área $ A $ da região semicircular. Sabemos que a área de um círculo completo é $ \pi r^2 $, então a área de um semicírculo é metade disso:
No nosso caso, o raio $ r $ é 1 (porque a equação da semicircunferência é $ y = \sqrt{1 - x^2} $), então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a coordenada $ \overline{x} $ do centroide. Observando a simetria do semicírculo em relação ao eixo $ y $, percebemos que a coordenada $ x $ do centroide será zero, já que os lados esquerdo e direito são simétricos.
Então:
Passo 5
Vamos agora calcular a coordenada $ \overline{y} $ do centroide. Usamos a fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 7
Agora, substituindo de volta na fórmula para $ \overline{y} $:
Resposta
O centroide da região semicircular é $ \left( 0,\ \dfrac{4}{3\pi} \right) $.