Encontre o centróide da região semicircular limitada pelo eixo x e pela curva y=raiz1-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o centroide de uma região semicircular que está limitada pelo eixo $ x $ e pela curva $ y = \sqrt{1 - x^2} $. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente na área de Geometria Analítica e Integral. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de integrais para encontrar as coordenadas do centroide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centroide. O centroide é o “ponto médio” de uma figura plana, onde se pode imaginar que toda a massa da figura está concentrada. Para encontrar as coordenadas $ (\overline{x}, \overline{y}) $ do centroide, usamos as seguintes fórmulas:
(x, y)
x = 1A integrala^b x cdot f(x) , dx
Aqui, $ A $ é a área da região, $ f(x) $ é a função que define a curva (no nosso caso, $ y = \sqrt{1 - x^2} $), e os limites de integração $ a $ e $ b $ são os pontos onde a curva intercepta o eixo $ x $.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a área $ A $ da região semicircular. Sabemos que a área de um círculo completo é $ \pi r^2 $, então a área de um semicírculo é metade disso:
A
No nosso caso, o raio $ r $ é 1 (porque a equação da semicircunferência é $ y = \sqrt{1 - x^2} $), então:
pi r^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a coordenada $ \overline{x} $ do centroide. Observando a simetria do semicírculo em relação ao eixo $ y $, percebemos que a coordenada $ x $ do centroide será zero, já que os lados esquerdo e direito são simétricos.
Então:
x

Passo 5

Vamos agora calcular a coordenada $ \overline{y} $ do centroide. Usamos a fórmula:
y
Simplificando a expressão dentro da integral:
y = 1A integral-1^1 (raiz1 - x^2)^22 , dx
Então, a integral fica:
(raiz1 - x^2)^2 = 1 - x^2

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral-1^1 (1 - x^2) , dx = integral-1^1 1 , dx - integral-1^1 x^2 , dx
Calculando cada parte:
integral-1^1 1 , dx = [x]-1^1 = 1 - (-1) = 2
integral-1^1 x^2 , dx = [ x^33 ]-1^1 = ( 13 - (-1)^33 ) = 13 - ( -13 ) = 23
Então:
integral-1^1 (1 - x^2) , dx = 2 - 23 = 43

Passo 7

Agora, substituindo de volta na fórmula para $ \overline{y} $:
y

Resposta

O centroide da região semicircular é $ \left( 0,\ \dfrac{4}{3\pi} \right) $.

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