Encontre f \circ g \circ h
f(x)=\sqrt{x}, \quad g(x)=\sqrt[3]{1-x}, \quad h(x)=2 x^{4}+3

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre f\circ g\circ h. As funções dadas são:
  • f(x)=\sqrt{x},
  • g(x)=\sqrt[3]{1-x},
  • h(x)=2x^{4}+3.
O que se quer: calcular explicitamente a composição (f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(g(h(x))\bigr).

Passo 2

O que significa composição de funções: (f\circ g\circ h)(x) significa aplicar primeiro h a x, depois aplicar g ao resultado h(x), e por fim aplicar f ao resultado g(h(x)). Em fórmula:
(f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(g(h(x))\bigr).
Regra útil de potências (que vou usar): se A é um número e m,n são números racionais, então (A^{m})^{n}=A^{mn} (quando as potências estão bem definidas).

Passo 3

Calcular h(x) (já dada):
h(x)=2x^{4}+3.
Agora calcular g(h(x)) substituindo h(x) em g:
g(h(x))=\sqrt[3]{\,1-h(x)\,}=\sqrt[3]{\,1-(2x^{4}+3)\,}.
Faço a subtração dentro da raiz:
1-(2x^{4}+3)=1-2x^{4}-3=-2-2x^{4}.
Portanto
g(h(x))=\sqrt[3]{-2-2x^{4}}=\bigl(-2-2x^{4}\bigr)^{1/3}.

Passo 4

Agora aplico f ao resultado g(h(x)):
(f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(g(h(x))\bigr)=\sqrt{\,g(h(x))\,}=\sqrt{\bigl(-2-2x^{4}\bigr)^{1/3}}.
Usando a regra de potências \bigl(A^{1/3}\bigr)^{1/2}=A^{1/6}, obtenho a forma simplificada:
(f\circ g\circ h)(x)=\bigl(-2-2x^{4}\bigr)^{1/6}.

Passo 5

Análise de domínio (essencial): f(x)=\sqrt{x} exige que o argumento seja \ge 0 se estivermos considerando funções com valores reais. Aqui o argumento de f é g(h(x))=\sqrt[3]{-2-2x^{4}}.
Observação: para todo x\in\mathbb{R} tem-se x^{4}\ge 0, logo -2-2x^{4}\le -2<0. Portanto \sqrt[3]{-2-2x^{4}} é sempre um número real negativo. Como a raiz quadrada de um número real negativo não é um número real, não existe x\in\mathbb{R} que torne f(g(h(x))) bem definida como número real.
Se aceitarmos valores complexos, a expressão \bigl(-2-2x^{4}\bigr)^{1/6} é a forma (multi‑valorada) complexa correspondente; mas como normalmente em composição de funções elementares queremos valores reais, o conjunto de x reais onde a composição está definida é vazio.

Passo 6

Também podemos factorizar a expressão interna para ver a estrutura:
-2-2x^{4}=-2(1+x^{4}),
portanto a forma compacta é
(f\circ g\circ h)(x)=\bigl(-2(1+x^{4})\bigr)^{1/6}.
Reforçando: essa expressão não fornece valores reais para x\in\mathbb{R} porque o radicando é negativo.

Resposta

(f\circ g\circ h)(x)=\bigl(-2-2x^{4}\bigr)^{1/6}=\bigl(-2(1+x^{4})\bigr)^{1/6}\n
Domínio (valores reais): \varnothing

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