Obtenha o domínio, a imagem, esboce o gráfico e (a) se Img subset Domf, obtenha f circ g; (b)se Imf subset Domg, obtenha g circ f.
f(x)=x^2+2u+1, g(x)=1-x.

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com as funções
f(x)=x^2+2x+1
e
g(x)=1-x
no contexto de funções reais: determinar domínio e imagem de cada uma, esboçar o gráfico de cada função e, em seguida, verificar as inclusões de imagem em domínio para compor fcirc g e gcirc f.

Passo 2

Determinamos domínio e imagem de f e de g:
A) Para f(x)=x^2+2x+1:
– O domínio de uma parábola polinomial é todo o conjunto dos reais, logo
Dom,f=R
– Como
f(x)=(x+1)^2,
o valor mínimo ocorre em x=-1 com f(-1)=0 e cresce sem limite para +infty. Assim
Im,f=[0,infty)
B) Para g(x)=1-x:
– Também é um polinômio de grau 1, logo
Dom,g=R
– A reta g atinge todos os valores reais ao variar x em R, portanto
Im,g=R

Passo 3

Esboço dos gráficos:
f(x)=(x+1)^2 é uma parábola com vértice em (-1,0), concavidade para cima, cortando o eixo y em f(0)=1.
g(x)=1-x é uma reta decrescente de coeficiente angular -1, intercepta o eixo y em (0,1) e o eixo x em (1,0).

Passo 4

Composição fcirc g:
Verificamos que
Im,g=RsubsetDom,f=R,
então fcirc g existe e
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=f(1-x)=(1-x)^2+2(1-x)+1
Expandindo,
(1-x)^2+2(1-x)+1 =1-2x+x^2+2-2x+1 =x^2-4x+4

Passo 5

Composição gcirc f:
Verificamos que
Im,f=[0,infty)subsetDom,g=R,
logo gcirc f existe e
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=gl(x^2+2x+1r) =1-l(x^2+2x+1r) =-x^2-2x

Resposta

Domínio e imagem:
Dom,f=R, Im,f=[0,infty),
Dom,g=R, Im,g=R
Esboços: f é parábola com vértice em (-1,0); g é reta decrescente interceptando (0,1) e (1,0).
(a) fcirc g(x)=x^2-4x+4.
(b) gcirc f(x)=-x^2-2x.

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