Obtenha o domínio, a imagem, esboce o gráfico e (a) se
, obtenha
; (b)se
, obtenha
.
.
Passo 1
O enunciado pede para trabalharmos com as funções
e
no contexto de funções reais: determinar domínio e imagem de cada uma, esboçar o gráfico de cada função e, em seguida, verificar as inclusões de imagem em domínio para compor
e
.
Passo 2
Determinamos domínio e imagem de
e de
:
A) Para
:
– O domínio de uma parábola polinomial é todo o conjunto dos reais, logo
– O domínio de uma parábola polinomial é todo o conjunto dos reais, logo
– Como
o valor mínimo ocorre em
com
e cresce sem limite para
. Assim
B) Para
:
– Também é um polinômio de grau 1, logo
– Também é um polinômio de grau 1, logo
– A reta
atinge todos os valores reais ao variar
em
, portanto
Passo 3
Esboço dos gráficos:
–
é uma parábola com vértice em
, concavidade para cima, cortando o eixo
em
.
– é uma reta decrescente de coeficiente angular
, intercepta o eixo
em
e o eixo
em
.
–
Passo 4
Composição
:
Verificamos que
então
existe e
Expandindo,
Passo 5
Composição
:
Verificamos que
logo
existe e
Resposta
Domínio e imagem:
Esboços:
é parábola com vértice em
;
é reta decrescente interceptando
e
.
(a) .
(b) .
(a)
(b)