Example
Obtenha o gráfico do cilindro com geratriz paralela ao eixo
diretriz sendo a circunferência
no plano coordenado
.
Obtenha o gráfico do cilindro com geratriz paralela ao eixo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! Você precisa obter o gráfico de um cilindro cuja geratriz (que é como se fosse a “linha direcional” do cilindro) é paralela ao eixo
. A diretriz desse cilindro é a circunferência dada por
no plano coordenado
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cilindros no espaço tridimensional e como eles são representados matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um cilindro no contexto da geometria analítica. Um cilindro é uma superfície gerada pela movimentação de uma curva (nesse caso, a circunferência) ao longo de uma direção específica, sem que a curva mude de forma ou tamanho. A geratriz é a direção ao longo da qual a curva se move.
Passo 3
No nosso exercício, a geratriz é paralela ao eixo
. Isso significa que a circunferência vai “deslizar” ao longo do eixo
, mantendo sua forma no plano
. A equação da circunferência no plano
é
.
Passo 4
Para representar o cilindro no espaço tridimensional, vamos considerar que a coordenada
pode assumir qualquer valor real, já que a circunferência está se movendo ao longo desse eixo sem restrições. Portanto, a equação do cilindro será a mesma da circunferência, mas com
livre.
Passo 5
Vamos juntar tudo! A equação do cilindro com a geratriz paralela ao eixo
e diretriz sendo a circunferência
é:
no qual
pode ser qualquer número real.
Resposta
O gráfico do cilindro é definido pela equação
com
podendo assumir qualquer valor real. Isso representa um cilindro circular com a geratriz paralela ao eixo
e centrado no ponto
no plano
.