Encontre a circulação e o fluxo dos campos
ao redor e através das curvas a seguir.
(b) A elipse
(b) A elipse
Passo 1
Estamos com a elipse parametrizada por
que é a fronteira de uma região
elíptica de semi-eixos
e
. Precisamos calcular, para cada campo
,
. a circulação
,
. o fluxo
.
Vamos usar o Teorema de Green:
Vamos usar o Teorema de Green:
A área de
é
Passo 2
Para
temos
e
.
Calculemos os derivativos:
Calculemos os derivativos:
Logo, pela fórmula da circulação,
Passo 3
Ainda em
, o divergente é
Pela fórmula do fluxo,
Passo 4
Para
temos
e
.
Calculemos
Calculemos
Então a circulação é
Passo 5
Ainda em
, o divergente é
Logo o fluxo vale
Resposta
Para
:
circulação ,
fluxo .
circulação
fluxo
Para
:
circulação ,
fluxo .
circulação
fluxo