Encontre a circulação e o fluxo dos campos
\mathbf{F}_{1}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j} \quad \mathbf{e} \quad \mathbf{F}_{2}=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}
ao redor e através das curvas a seguir.
(b) A elipse
\mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}+(4 \operatorname{sen} t) \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

Estamos com a elipse parametrizada por
\mathbf{r}(t)=(\cos t)\,\mathbf{i}+(4\sin t)\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le2\pi,
que é a fronteira de uma região D elíptica de semi-eixos a=1 e b=4. Precisamos calcular, para cada campo \mathbf{F}=(P,Q),
1. a circulação \displaystyle\oint_{C}P\,dx+Q\,dy,
2. o fluxo \displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds.
Vamos usar o Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\Bigr)\,dA.
A área de D é
\text{Area}(D)=\pi\,a\,b=\pi\cdot1\cdot4=4\pi.

Passo 2

Para \mathbf{F}_{1}(x,y)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j} temos P=x e Q=y.
Calculemos os derivativos:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial y}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial y}=0.
Logo, pela fórmula da circulação,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}(0-0)\,dA =0.

Passo 3

Ainda em \mathbf{F}_{1}, o divergente é
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y} =1+1=2.
Pela fórmula do fluxo,
\oint_{C}\mathbf{F}_{1}\cdot\mathbf{n}\,ds =\iint_{D}2\,dA =2\cdot\bigl(\text{Area}(D)\bigr) =2\cdot4\pi =8\pi.

Passo 4

Para \mathbf{F}_{2}(x,y)=-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j} temos P=-y e Q=x.
Calculemos
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial(-y)}{\partial y}=-1.
Então a circulação é
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}(1-(-1))\,dA =\iint_{D}2\,dA =2\cdot4\pi =8\pi.

Passo 5

Ainda em \mathbf{F}_{2}, o divergente é
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} =\frac{\partial(-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y} =0+0=0.
Logo o fluxo vale
\oint_{C}\mathbf{F}_{2}\cdot\mathbf{n}\,ds =\iint_{D}0\,dA =0.

Resposta

Para \mathbf{F}_{1}:
circulação =0,
fluxo =8\pi.
Para \mathbf{F}_{2}:
circulação =8\pi,
fluxo =0.

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