Encontre a circulação e o fluxo dos campos
\mathbf{F}_{1}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j} \quad \mathbf{e} \quad \mathbf{F}_{2}=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}
ao redor e através das curvas a seguir.
(b) A elipse
\mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}+(4 \operatorname{sen} t) \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede a circulação \displaystyle \oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r
e o fluxo \displaystyle \oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds
dos campos \mathbf F_1=(x,y) e \mathbf F_2=(-y,x)
na elipse dada por \mathbf r(t)=(\cos t,4\sin t), 0\le t\le2\pi.
Usaremos o Teorema de Green para converter integrais de linha em integrais duplas no interior da curva.

Passo 2

Identificamos os semi-eixos da elipse: a=1 e b=4.
A área do interior vale
\text{Área}=\pi\,a\,b=\pi\cdot1\cdot4=4\pi.Á

Passo 3

Circulação de \mathbf F_1. Aqui P=x e Q=y.
O rotacional no plano é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =0-0=0.
Pelo Teorema de Green,
\oint_C\mathbf F_1\cdot d\mathbf r =\iint_\text{int}(0)\,dA=0.

Passo 4

Fluxo de \mathbf F_1. A divergência é
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} =1+1=2.
Então
\oint_C\mathbf F_1\cdot\mathbf n\,ds =\iint_\text{int}2\,dA =2\cdot\bigl(4\pi\bigr) =8\pi.

Passo 5

Circulação de \mathbf F_2. Aqui P=-y e Q=x.
O rotacional é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1-(-1)=2.
Logo
\oint_C\mathbf F_2\cdot d\mathbf r =\iint_\text{int}2\,dA =2\cdot\bigl(4\pi\bigr) =8\pi.

Passo 6

Fluxo de \mathbf F_2. A divergência é
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} =0+0=0.
Portanto
\oint_C\mathbf F_2\cdot\mathbf n\,ds =\iint_\text{int}0\,dA=0.

Resposta

Para \mathbf F_1: circulação =0 e fluxo =8\pi.
Para \mathbf F_2: circulação =8\pi e fluxo =0.

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