5.4 Encontre todos os pontos críticos de f(x, y)=1-x^3- 2 y^2+3 x+y^4 e determine se são pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos críticos da função f(x,y)=1 - x^3 - 2y^2 + 3x + y^4 e usar o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos precisar saber derivadas parciais, resolver o sistema nabla f=0 e depois usar a Hessiana.

Passo 2

Primeiro encontramos as derivadas parciais de f em relação a x e y e igualamos a zero:
fx = partial fpartial x = -3x^2 + 3,
fy = partial fpartial y = -4y + 4y^3.
Resolvendo
fx=0 -3x^2+3=0 x^2=1 x=pm1.
fy=0 -4y+4y^3=0 4y(y^2-1)=0 y=0,pm1.
Assim, os pontos críticos são as combinações (x,y)=(pm1,0) e (pm1,pm1).

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas para montar a Hessiana.
fxx=-6x, fyy=-4+12y^2, fxy=0
O determinante da Hessiana é
D(x,y)=fxxfyy-fxy^2 = (-6x)(-4+12y^2)=24x(1-3y^2)

Passo 4

Para cada ponto crítico, avaliamos D e o sinal de fxx:
  • Em (1,0): D=24cdot1(1-0)=24>0 e fxx=-6<0 ⇒ máximo local.
  • Em (1,pm1): D=24cdot1(1-3)=-48<0 ⇒ ponto de sela.
  • Em (-1,0): D=24cdot(-1)(1)= -24<0 ⇒ ponto de sela.
  • Em (-1,pm1): D=24cdot(-1)(1-3)=48>0 e fxx=6>0 ⇒ mínimo local.

Passo 5

Com base no teste da Hessiana, concluímos a classificação de cada ponto crítico.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(1,0): máximo local
(1,1): ponto de sela
(1,-1): ponto de sela
(-1,0): ponto de sela
(-1,1): mínimo local
(-1,-1): mínimo local

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