5.4 Encontre todos os pontos críticos de
e determine se são pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os pontos críticos da função
e usar o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos precisar saber derivadas parciais, resolver o sistema
e depois usar a Hessiana.
Passo 2
Primeiro encontramos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero:
,
.
Resolvendo
dá
⇒
⇒
.
dá
⇒
⇒
.
Assim, os pontos críticos são as combinações e
.
Resolvendo
Assim, os pontos críticos são as combinações
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas para montar a Hessiana.
O determinante da Hessiana é
Passo 4
Para cada ponto crítico, avaliamos
e o sinal de
:
- Em
: e ⇒ máximo local. - Em
: ⇒ ponto de sela. - Em
: ⇒ ponto de sela. - Em
: e ⇒ mínimo local.
Passo 5
Com base no teste da Hessiana, concluímos a classificação de cada ponto crítico.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
(1,0): máximo local
(1,1): ponto de sela
(1,-1): ponto de sela
(-1,0): ponto de sela
(-1,1): mínimo local
(-1,-1): mínimo local
(1,0): máximo local
(1,1): ponto de sela
(1,-1): ponto de sela
(-1,0): ponto de sela
(-1,1): mínimo local
(-1,-1): mínimo local