Encontre e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
z=x^4+y^3+32 x-9 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos da função
f(x,y)=x^4+y^3+32x-9y
definida em R^2, e verificar se existem extremos absolutos. Para isso, vamos usar o método do gradiente igual a zero para achar candidatos a pontos críticos e, em seguida, a matriz Hessiana para classificá-los. Por fim, analisamos o comportamento da função no infinito para ver se há extremos absolutos.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial fpartial x=4x^3+32, partial fpartial y=3y^2-9
Daí
4x^3+32=0implies x^3=-8implies x=-2,
3y^2-9=0implies y^2=3implies y=pmraiz3
Os pontos críticos são l(-2,raiz3r) e l(-2,-raiz3r).

Passo 3

A matriz Hessiana é
Hf(x,y)= fxx & fxy fyx & fyy = 12x^2 & 0 0 & 6y
Em l(-2,raiz3r):
fxx=12cdot(-2)^2=48>0, fyy=6raiz3>0, det H=48cdot6raiz3=288raiz3>0,
logo é mínimo local.
Em l(-2,-raiz3r):
fxx=48>0, fyy=6(-raiz3)=-6raiz3<0, det H=48cdot(-6raiz3)=-288raiz3<0,
logo é ponto de sela.

Passo 4

Para lvert xrverttoinfty, o termo x^4 domina e fto+infty. Para yto-infty, o termo y^3 domina e fto-infty. Portanto não existem nem máximo absoluto nem mínimo absoluto.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
l(-2,raiz3r) é mínimo local.
l(-2,-raiz3r) é ponto de sela.
Não há extremo absoluto em R^2.

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