Encontre e classifique os pontos críticos da função e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos da função
definida em , e verificar se existem extremos absolutos. Para isso, vamos usar o método do gradiente igual a zero para achar candidatos a pontos críticos e, em seguida, a matriz Hessiana para classificá-los. Por fim, analisamos o comportamento da função no infinito para ver se há extremos absolutos.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Daí
Os pontos críticos são e .
Passo 3
A matriz Hessiana é
Em l(-2,raiz3r):
fxx=12cdot(-2)^2=48>0, fyy=6raiz3>0, det H=48cdot6raiz3=288raiz3>0,
logo é mínimo local.
Em l(-2,-raiz3r):
fxx=48>0, fyy=6(-raiz3)=-6raiz3<0, det H=48cdot(-6raiz3)=-288raiz3<0,
logo é ponto de sela.
Passo 4
Para lvert xrverttoinfty, o termo x^4 domina e fto+infty. Para yto-infty, o termo y^3 domina e fto-infty. Portanto não existem nem máximo absoluto nem mínimo absoluto.
Resposta
Pontos críticos e classificação: l(-2,raiz3r) é mínimo local. l(-2,-raiz3r) é ponto de sela.
Não há extremo absoluto em R^2.