Encontre e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
z=x^2-2 x y+y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função z=f(x,y)=x^2-2xy+y^2 definida em R^2. Precisamos encontrar seus pontos críticos resolvendo o sistema gradiente igual a zero, depois classificar esses pontos usando a matriz Hessiana e, por fim, verificar se existem extremos absolutos.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais
partial fpartial x=2x-2y, partial fpartial y=-2x+2y
Anular essas derivadas leva a 2(x-y)=0 e -2(x-y)=0, de onde obtemos a condição x=y. Portanto, todos os pontos da reta x=y são críticos.

Passo 3

A matriz Hessiana é
H= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 = 2 & -2 -2 & 2
Para um vetor (u,v), o formulário quadrático é
(u,v),H,(u,v)^T=2u^2-4uv+2v^2=2(u-v)^2>=0,
mostrando que H é semidefinida positiva. Isso implica que cada ponto crítico é um mínimo local degenerado (direção nula na reta u=v).

Passo 4

Observamos que
f(x,y)=(x-y)^2>=0
para todo (x,y), com igualdade (logo valor mínimo absoluto 0) exatamente na reta x=y. Não há valor máximo, pois (x-y)^2toinfty quando |x-y|toinfty.

Resposta

A reta de pontos críticos é x=y. Cada ponto dessa reta é um mínimo local degenerado e, de fato, um mínimo absoluto de valor 0. Não há máximo absoluto.

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