Encontre e classifique os pontos críticos da função e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida em . Precisamos encontrar seus pontos críticos resolvendo o sistema gradiente igual a zero, depois classificar esses pontos usando a matriz Hessiana e, por fim, verificar se existem extremos absolutos.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais
Anular essas derivadas leva a e , de onde obtemos a condição . Portanto, todos os pontos da reta são críticos.
Passo 3
A matriz Hessiana é
Para um vetor (u,v), o formulário quadrático é
(u,v),H,(u,v)^T=2u^2-4uv+2v^2=2(u-v)^2>=0,
mostrando que H é semidefinida positiva. Isso implica que cada ponto crítico é um mínimo local degenerado (direção nula na reta u=v).
Passo 4
Observamos que
f(x,y)=(x-y)^2>=0
para todo (x,y), com igualdade (logo valor mínimo absoluto 0) exatamente na reta x=y. Não há valor máximo, pois (x-y)^2toinfty quando |x-y|toinfty.
Resposta
A reta de pontos críticos é x=y. Cada ponto dessa reta é um mínimo local degenerado e, de fato, um mínimo absoluto de valor 0. Não há máximo absoluto.