Encontre e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
z=x y^2+3 y^2-3 x y+2 x-4 y+1

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
z = f(x,y) = x y^2 + 3y^2 - 3xy + 2x - 4y + 1
no domínio R^2, classificá-los (mínimo, máximo ou sela) usando o Hessiano, e verificar se existe extremo absoluto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e vemos onde elas se anulam:
fx = partial fpartial x = y^2 - 3y + 2,
fy = partial fpartial y = 2xy + 6y - 3x - 4
Para fx=0 temos
y^2 - 3y + 2 = 0 Longrightarrow (y-1)(y-2)=0 Longrightarrow y=1 ou y=2
Substituindo em fy=0:
fy = x(2y-3) + 6y -4 = 0 Longrightarrow x = 4-6y2y-3
Para y=1 x=(4-6)/(2-3)=2.
Para y=2 x=(4-12)/(4-3)=-8.
Logo os pontos críticos são (2,1) e (-8,2).

Passo 3

Formamos o Hessiano
H = fxx & fxy [6pt] fyx & fyy ,
onde
fxx = 0, fxy = fyx = 2y-3, fyy = 2x + 6
Em (2,1):
H(2,1) = 0 & -1 -1 & 10 , det H(2,1) = 0cdot10 - (-1)^2 = -1 < 0,
logo ponto de sela.
Em (-8,2):
H(-8,2) = 0 & 1 1 & -10 , det H(-8,2) = 0cdot(-10) - 1^2 = -1 < 0,
também ponto de sela.]

Passo 4

Como f é polinomial de grau 3 e o domínio é ilimitado, f vai a +infty e -infty em direções diferentes, logo não há mínimo nem máximo absoluto.

Resposta

Os únicos pontos críticos são (2,1) e (-8,2), ambos são pontos de sela, e não existem extremos absolutos.

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