Encontre e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
no domínio
, classificá-los (mínimo, máximo ou sela) usando o Hessiano, e verificar se existe extremo absoluto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e vemos onde elas se anulam:
Para
temos
Substituindo em
:
Para
dá
.
Para dá
.
Logo os pontos críticos são e
.
Para
Logo os pontos críticos são
Passo 3
Formamos o Hessiano
onde
Em
:
logo ponto de sela.
Em(-8,2) :
Em
também ponto de sela.]
Passo 4
Como
f é polinomial de grau
3 e o domínio é ilimitado,
f vai a
+infty e
-infty em direções diferentes, logo não há mínimo nem máximo absoluto.
Resposta
Os únicos pontos críticos são
(2,1) e
(-8,2) , ambos são pontos de sela, e não existem extremos absolutos.