Questão 3-Determine a derivada da função vetorial r(t)=(t sin t, t^2, cos (2 t))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial
r(t) = l(tsin t,;t^2,;cos(2t)r).
O conteúdo aqui é derivada de função vetorial, que fazemos componente a componente.
Para isso vamos usar:
1. Regra do produto para (tsin t)'.
2. Regra de potência para (t^2)'.
3. Regra da cadeia para l(cos(2t)r)'.

Passo 2

Calcular a derivada da primeira componente usando a regra do produto, isto é,
l(tsin tr)' = t,( sin t)' + 1cdot sin t = tcos t + sin t

Passo 3

Calcular a derivada da segunda componente usando a regra de potência,
(t^2)' = 2t

Passo 4

Calcular a derivada da terceira componente usando a regra da cadeia:
l(cos(2t)r)' = -sin(2t)cdot(2t)' = -2sin(2t)

Passo 5

Juntando tudo, a derivada vetorial é
r,'(t) = l(tcos t + sin t,;2t,;-2sin(2t)r)

Resposta

r,'(t) = l(tcos t + sin t,;2t,;-2sin(2t)r)

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