Questão 1 - Determine a derivada da função vetorial r(t)=(11+t, t1+t, t^21+t)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função vetorial r(t)=l(tfrac11+t,,tfract1+t,,tfract^21+tr). O conteúdo envolve derivada de funções de uma variável em cada componente, usando a regra do quociente ou a derivada de potências.

Passo 2

Para a primeira componente x(t)=tfrac11+t, reconhecemos que x(t)=(1+t)^-1. Então aplicamos a derivada de potência: x'(t)=-1,(1+t)^-2cdot(1+t)'=-tfrac1(1+t)^2

Passo 3

Na segunda componente y(t)=tfract1+t, usamos a regra do quociente com u=t, u'=1 e v=1+t, v'=1. Assim
y'(t)=u'v - u v'v^2=1cdot(1+t)-tcdot1(1+t)^2=1(1+t)^2

Passo 4

Na terceira componente z(t)=tfract^21+t, aplicamos a regra do quociente com u=t^2, u'=2t e v=1+t, v'=1. Logo
z'(t)=2t(1+t)-t^2cdot1(1+t)^2=2t+2t^2-t^2(1+t)^2=t(2+t)(1+t)^2

Passo 5

Reunindo as três derivadas, obtemos a derivada vetorial completa.

Resposta

r'(t)=gl(-1(1+t)^2,,1(1+t)^2,,t(2+t)(1+t)^2gr)

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