Encontre e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
z=x^3-3 x y^2+y^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x^3-3xy^2+y^3,
ou seja, resolver o sistema partial f/partial x=0, partial f/partial y=0, depois classificar cada ponto (máximo, mínimo ou sela) e, por fim, verificar se existe extremo absoluto no domínio R^2.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais:
partial fpartial x=3x^2-3y^2=3(x^2-y^2), partial fpartial y=-6xy+3y^2=3y(y-2x)
Para pontos críticos, impomos
3(x^2-y^2)=0, 3y(y-2x)=0
ou seja
x^2=y^2, y=0;ou;y=2x
Se y=0 então x^2=0Rightarrow x=0.
Se y=2x então x^2=(2x)^2=4x^2Rightarrow 3x^2=0Rightarrow x=0, daí y=0.
Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Para classificar, usamos as segundas derivadas:
fxx=6x, fyy=-6x+6y, fxy=-6y
No ponto (0,0) todas as segundas derivadas são zero, o teste da matriz Hessiana fica inconclusivo.
Então estudamos direções:
– Ao longo de y=0
f(x,0)=x^3,
que muda de sinal (positivo para x>0 e negativo para x<0).
– Ao longo de y=x
f(x,x)=x^3-3xcdot x^2+x^3=-x^3,
que também muda de sinal mas invertido.
Como em direções distintas a função assume valores de sinais opostos, (0,0) é ponto de sela.

Passo 4

O domínio é todo R^2 e f é um polinômio de grau 3. Conforme x,ytopminfty, f(x,y) vai para +infty ou -infty dependendo da direção. Logo não há máximo nem mínimo absoluto.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é um ponto de sela, e não existem extremos absolutos.

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