Encontre e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
ou seja, resolver o sistema
,
, depois classificar cada ponto (máximo, mínimo ou sela) e, por fim, verificar se existe extremo absoluto no domínio
.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais:
Para pontos críticos, impomos
ou seja
Se
então
.
Se então
, daí
.
Logo o único ponto crítico é .
Se
Logo o único ponto crítico é
Passo 3
Para classificar, usamos as segundas derivadas:
No ponto
todas as segundas derivadas são zero, o teste da matriz Hessiana fica inconclusivo.
Então estudamos direções:
– Ao longo de
Então estudamos direções:
– Ao longo de
que muda de sinal (positivo para
e negativo para
).
– Ao longo de
– Ao longo de
que também muda de sinal mas invertido.
Como em direções distintas a função assume valores de sinais opostos, é ponto de sela.
Como em direções distintas a função assume valores de sinais opostos,
Passo 4
O domínio é todo
e
é um polinômio de grau 3. Conforme
,
vai para
ou
dependendo da direção. Logo não há máximo nem mínimo absoluto.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um ponto de sela, e não existem extremos absolutos.