1. Verifique que no domínio D=(x, y) in R^2 ; x>0 e y>0 a função f do Exercício 1 item (i) não tem mínimo. Qual o maior valor que f assume em D ? Construa uma função contínua em D que não possua máximo nem mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar no domínio
D = (x,y)inR^2 mid x>0,;y>0
que a função f do Exercício 1(i) não tem mínimo e determinar o maior valor que f assume em D. Em seguida, pede para construir uma função contínua em D que não possua nem máximo nem mínimo.

Passo 2

Não é possível verificar a existência de mínimo nem determinar o supremo de f em D porque o enunciado não nos deu a expressão explícita de f. Sem conhecer a fórmula de f, não há como analisar seus valores ou limites quando (x,y) tende às fronteiras de D.

Passo 3

Independentemente de f, podemos oferecer um exemplo de função contínua em D que não possui nem máximo nem mínimo. Uma escolha simples é
g(x,y) ;=; x + y
Essa função é contínua em D. Para qualquer ponto (x,y)in D temos g(x,y)>0, mas dado qualquer varepsilon>0 podemos encontrar (x,y) em D tão próximos da origem que g(x,y)<varepsilon, de modo que não há mínimo. Por outro lado, fazendo xto+infty ou yto+infty, g(x,y)to+infty, logo não há máximo.

Resposta

Não é possível tratar a função f pois sua expressão não foi fornecida.
Exemplo de função contínua em D sem máximo nem mínimo:
g(x,y)=x+y

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