Seja z=u^{2}-v^{2} e suponha que u=e^{x} \cos (y) e v=e^{x} \operatorname{sen}(y). Use a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado define
z = u^{2} - v^{2},
com
u = e^{x}\cos(y), \quad v = e^{x}\sin(y),
e pede as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. O conteúdo central é a regra da cadeia para variáveis compostas.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de z em relação a u e v:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}\bigl(u^{2}-v^{2}\bigr) = 2u,
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}\bigl(u^{2}-v^{2}\bigr) = -2v.

Passo 3

Agora obtemos as derivadas de u e v em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos(y)\bigr) = e^{x}\cos(y),
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin(y)\bigr) = e^{x}\sin(y).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para \frac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial x} = 2u\,(e^{x}\cos(y)) + (-2v)\,(e^{x}\sin(y)).
Substituindo u e v e simplificando usando \cos^{2}y-\sin^{2}y=\cos(2y), chega-se a
\frac{\partial z}{\partial x} = 2e^{x}\bigl(e^{x}\cos^{2}y - e^{x}\sin^{2}y\bigr) = 2e^{2x}\cos(2y).

Passo 5

Agora as derivadas de u e v em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos(y)\bigr) = -e^{x}\sin(y),
\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin(y)\bigr) = e^{x}\cos(y).

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para \frac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial y} = 2u\,(-e^{x}\sin(y)) + (-2v)\,(e^{x}\cos(y)).
Substituindo u e v e usando 2\sin(y)\cos(y)=\sin(2y), obtemos
\frac{\partial z}{\partial y} = -2e^{x}\bigl(e^{x}\cos(y)\sin(y) + e^{x}\sin(y)\cos(y)\bigr) = -4e^{2x}\sin(y)\cos(y) = -2e^{2x}\sin(2y).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = 2e^{2x}\cos(2y),
\frac{\partial z}{\partial y} = -2e^{2x}\sin(2y).

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