Suponha que a temperatura em uma região do espaço é descrita por
T(x, y, z)=100 e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
e que você está parado no ponto (1,2,-1).
(a) Encontre a taxa de variação da temperatura na direção do vetor \vec{v}=(0,1,2);
(b) Em qual direção você se moveria de forma a temperatura decrescer o mais rapidamente possível?
(c) Quão rapidamente a temperatura decresce nessa direção?
(d) Encontre uma direção na qual a temperatura não muda.

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar de temperatura
T(x,y,z) = 100 e^{-x^2 - y^2 - z^2}
e pede, no ponto P=(1,2,-1):
(a) a derivada direcional na direção de \vec v=(0,1,2);
(b) a direção de maior decréscimo de T;
(c) a rapidez desse decréscimo;
(d) uma direção em que T não muda.
O conteúdo que usaremos é o gradiente, derivada direcional e propriedades de máximos e mínimos de decréscimo.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente
\nabla T = \bigl(T_x,\,T_y,\,T_z\bigr).
Como
T_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(100 e^{-x^2-y^2-z^2}\bigr) =100\cdot(-2x)\,e^{-x^2-y^2-z^2}=-200x\,e^{-x^2-y^2-z^2},
e analogamente
T_y=-200y\,e^{-x^2-y^2-z^2}, \quad T_z=-200z\,e^{-x^2-y^2-z^2}.
No ponto P=(1,2,-1), lembrando que 1^2+2^2+(-1)^2=6, temos
\nabla T(P) =(-200\cdot1,\,-200\cdot2,\,-200\cdot(-1))\,e^{-6} =(-200,\,-400,\,200)\,e^{-6}.

Passo 3

(a) A derivada direcional de T em P na direção de \vec v usa o vetor unitário
\mathbf u = \frac{\vec v}{\|\vec v\|}, \quad \|\vec v\|=\sqrt{0^2+1^2+2^2}=\sqrt5,
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\mathbf u=\Bigl(0,\tfrac1{\sqrt5},\tfrac2{\sqrt5}\Bigr).
Então
D_{\mathbf u}T(P) =\nabla T(P)\cdot\mathbf u =\bigl(-200,\,-400,\,200\bigr)e^{-6}\cdot \Bigl(0,\tfrac1{\sqrt5},\tfrac2{\sqrt5}\Bigr) =e^{-6}\frac{-400+400}{\sqrt5}=0.

Passo 4

(b) A temperatura decresce mais rapidamente na direção de -\nabla T(P). O vetor unitário correspondente é
-\frac{\nabla T(P)}{\|\nabla T(P)\|} =-\frac{(-200,-400,200)e^{-6}}{200\sqrt6\,e^{-6}} =\frac{(1,2,-1)}{\sqrt6}.
(c) A rapidez máxima de decréscimo é
-\|\nabla T(P)\| =-200\sqrt6\,e^{-6}.

Passo 5

(d) Qualquer direção ortogonal a \nabla T(P) faz D_{\mathbf w}T(P)=0.
Por exemplo, tomando \mathbf w=(2,-1,0) temos
(-200,-400,200)\cdot(2,-1,0)= -400+400+0=0,
ou seja, em \mathbf w a temperatura não muda.

Resposta

(a) 0
(b) \displaystyle \frac{(1,2,-1)}{\sqrt6}
(c) -200\sqrt6\,e^{-6}
(d) por exemplo (2,-1,0) (ou seu unitário)

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