Suponha que a temperatura em uma região do espaço é descrita por
e que você está parado no ponto
.
(a) Encontre a taxa de variação da temperatura na direção do vetor
;
(b) Em qual direção você se moveria de forma a temperatura decrescer o mais rapidamente possível?
(c) Quão rapidamente a temperatura decresce nessa direção?
(d) Encontre uma direção na qual a temperatura não muda.
(a) Encontre a taxa de variação da temperatura na direção do vetor
(b) Em qual direção você se moveria de forma a temperatura decrescer o mais rapidamente possível?
(c) Quão rapidamente a temperatura decresce nessa direção?
(d) Encontre uma direção na qual a temperatura não muda.
Passo 1
O enunciado dá o campo escalar de temperatura
e pede, no ponto
:
(a) a derivada direcional na direção de ;
(b) a direção de maior decréscimo de ;
(c) a rapidez desse decréscimo;
(d) uma direção em que não muda.
O conteúdo que usaremos é o gradiente, derivada direcional e propriedades de máximos e mínimos de decréscimo.
(a) a derivada direcional na direção de
(b) a direção de maior decréscimo de
(c) a rapidez desse decréscimo;
(d) uma direção em que
O conteúdo que usaremos é o gradiente, derivada direcional e propriedades de máximos e mínimos de decréscimo.
Passo 2
Primeiro calculamos o gradiente
Como
e analogamente
No ponto
, lembrando que
, temos
Passo 3
(a) A derivada direcional de
em
na direção de
usa o vetor unitário
logo
Então
Passo 4
(b) A temperatura decresce mais rapidamente na direção de
. O vetor unitário correspondente é
(c) A rapidez máxima de decréscimo é
Passo 5
(d) Qualquer direção ortogonal a
faz
.
Por exemplo, tomando temos
Por exemplo, tomando
ou seja, em
a temperatura não muda.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) por exemplo (ou seu unitário)
(b)
(c)
(d) por exemplo