Encontre os mínimos e máximos absolutos de:
no retângulo definido por
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os mínimos e máximos absolutos da função
no retângulo fechado dado por
e
.
Informações importantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio é o retângulo fechado
. - Como o domínio é fechado e limitado e
é contínua, existe pelo menos um mínimo absoluto e um máximo absoluto em . - O que precisamos fazer: examinar pontos críticos no interior de
e também as extremidades (as quatro arestas do retângulo), comparar os valores de nesses candidatos e escolher os menores e maiores valores.
Passo 2
Procuro pontos críticos no interior do retângulo calculando as derivadas parciais e igualando a zero.
Derivadas parciais:
Condições de ponto crítico:
e
. Resolvo as duas equações:
-
. -
ou .
Como
e
pertencem ao intervalo
e
pertence a
, os pontos críticos interiores são:
Passo 3
Calculo os valores de
nesses pontos críticos.
Para
:
Para
:
Calculo passo a passo:
Calculo passo a passo:
Então
Portanto os valores críticos são
e
.
Passo 4
Agora examino as arestas do retângulo. A ideia: restringir
a cada aresta (fica uma função de uma variável) e encontrar extremos dessa função no intervalo correspondente — verificando pontos críticos na aresta e os extremos dos extremos do intervalo.
Aresta A:
.
Aqui
atinge mínimo
em
e máximo
em
(já que
maior que
). Assim nesta aresta:
- mínimo:
, - máximo:
.
Passo 5
Aresta B:
.
Aqui
, então:
- mínimo nesta aresta é
em : , - máximo é
em : .
Passo 6
Aresta C:
.
Restrinjo a
.
Restrinjo
Derivo
. Zeros:
e
(mesmos que antes). Avalio
nesses pontos e nos extremos do intervalo
e
.
-
: . -
: já calculamos , então
-
: .
Assim na aresta
:
- mínimo é
, - máximo é
.
Passo 7
Aresta D:
.
Restrinjo a
.
Restrinjo
Derivo
. Zeros:
e
.
Avalio nesses pontos e em
.
Avalio
-
: . -
: lembrando ,
-
: .
Portanto na aresta
:
- mínimo é
, - máximo é
.
Passo 8
Reúno todos os candidatos (pontos críticos interiores, pontos críticos nas arestas e vértices) com seus valores para comparar:
- Interior:
com ; com . - Aresta
: com ; com ; com . - Aresta
: com ; com ; com . - Aresta
: com (e já incluímos e ). - Aresta
: com (e , ).
Comparando todos os valores listados:
- O menor valor encontrado é
(aprox. ). - O maior valor encontrado é
.
Logo o mínimo absoluto ocorre em
e o máximo absoluto ocorre em
.
Passo 9
Para completar a intuição (opcional): classifico localmente os pontos críticos usando a matriz Hessiana. A Hessiana é
- Em
: e , então é ponto de sela (não é mínimo nem máximo local). - Em
: , e , portanto é mínimo local — e, como vimos, também é o mínimo absoluto no retângulo.]
Resposta
Mínimo absoluto:
Máximo absoluto:
Máximo absoluto: