Encontre os mínimos e máximos absolutos de:
f(x, y)=x^{3}-2 x^{2}+y^{2} no retângulo definido por 0 \leq x \leq 5 \mathrm{e}-3 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os mínimos e máximos absolutos da função f(x,y)=x^{3}-2x^{2}+y^{2} no retângulo fechado dado por 0\le x\le 5 e -3\le y\le 1.
Informações importantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{3}-2x^{2}+y^{2}.
  • O domínio é o retângulo fechado R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 5,\;-3\le y\le 1\}.
  • Como o domínio é fechado e limitado e f é contínua, existe pelo menos um mínimo absoluto e um máximo absoluto em R.
  • O que precisamos fazer: examinar pontos críticos no interior de R e também as extremidades (as quatro arestas do retângulo), comparar os valores de f nesses candidatos e escolher os menores e maiores valores.

Passo 2

Procuro pontos críticos no interior do retângulo calculando as derivadas parciais e igualando a zero.
Derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}-2x^{2}+y^{2})=3x^{2}-4x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}-2x^{2}+y^{2})=2y.
Condições de ponto crítico: f_x=0 e f_y=0. Resolvo as duas equações:
  • f_y=0\Rightarrow 2y=0\Rightarrow y=0.
  • f_x=0\Rightarrow 3x^{2}-4x=0\Rightarrow x(3x-4)=0\Rightarrow x=0 ou x=\tfrac{4}{3}.
Como x=0 e x=\tfrac{4}{3} pertencem ao intervalo [0,5] e y=0 pertence a [-3,1], os pontos críticos interiores são:
(0,0)\quad\text{e}\quad\Bigl(\tfrac{4}{3},0\Bigr).

Passo 3

Calculo os valores de f nesses pontos críticos.
Para (0,0):
f(0,0)=0^{3}-2\cdot0^{2}+0^{2}=0.
Para \Bigl(\tfrac{4}{3},0\Bigr):
Calculo passo a passo:
\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{3}=\tfrac{64}{27},\qquad 2\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2}=2\cdot\tfrac{16}{9}=\tfrac{32}{9}=\tfrac{96}{27}.
Então
f\Bigl(\tfrac{4}{3},0\Bigr)=\tfrac{64}{27}-\tfrac{96}{27}+0=-\tfrac{32}{27}.
Portanto os valores críticos são f(0,0)=0 e f\bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr)=-\tfrac{32}{27}.

Passo 4

Agora examino as arestas do retângulo. A ideia: restringir f a cada aresta (fica uma função de uma variável) e encontrar extremos dessa função no intervalo correspondente — verificando pontos críticos na aresta e os extremos dos extremos do intervalo.
Aresta A: x=0,\; y\in[-3,1].
f(0,y)=0-0+y^{2}=y^{2}.
Aqui y^{2} atinge mínimo 0 em y=0 e máximo 9 em y=-3 (já que |-3|=3 maior que 1). Assim nesta aresta:
  • mínimo: f(0,0)=0,
  • máximo: f(0,-3)=9.

Passo 5

Aresta B: x=5,\; y\in[-3,1].
f(5,y)=5^{3}-2\cdot5^{2}+y^{2}=125-50+y^{2}=75+y^{2}.
Aqui y^{2}\in[0,9], então:
  • mínimo nesta aresta é 75 em y=0: f(5,0)=75,
  • máximo é 75+9=84 em y=-3: f(5,-3)=84.

Passo 6

Aresta C: y=-3,\; x\in[0,5].
Restrinjo f a g(x)=f(x,-3)=x^{3}-2x^{2}+(-3)^{2}=x^{3}-2x^{2}+9.
Derivo g'(x)=3x^{2}-4x. Zeros: x=0 e x=\tfrac{4}{3} (mesmos que antes). Avalio g nesses pontos e nos extremos do intervalo x=0 e x=5.
  • x=0: g(0)=0-0+9=9.
  • x=\tfrac{4}{3}: já calculamos x^{3}-2x^{2}=-\tfrac{32}{27}, então
g\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)=-\tfrac{32}{27}+9=9-\tfrac{32}{27}=\tfrac{243-32}{27}=\tfrac{211}{27}\approx7{,}8148.
  • x=5: g(5)=125-50+9=84.
Assim na aresta y=-3:
  • mínimo é g\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)=\tfrac{211}{27}\approx7{,}8148,
  • máximo é g(5)=84.

Passo 7

Aresta D: y=1,\; x\in[0,5].
Restrinjo f a h(x)=f(x,1)=x^{3}-2x^{2}+1.
Derivo h'(x)=3x^{2}-4x. Zeros: x=0 e x=\tfrac{4}{3}.
Avalio h nesses pontos e em x=5.
  • x=0: h(0)=1.
  • x=\tfrac{4}{3}: lembrando x^{3}-2x^{2}=-\tfrac{32}{27},
h\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)=-\tfrac{32}{27}+1=1-\tfrac{32}{27}=\tfrac{27-32}{27}=-\tfrac{5}{27}\approx-0{,}185185.
  • x=5: h(5)=125-50+1=76.
Portanto na aresta y=1:
  • mínimo é h\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)=-\tfrac{5}{27},
  • máximo é h(5)=76.

Passo 8

Reúno todos os candidatos (pontos críticos interiores, pontos críticos nas arestas e vértices) com seus valores para comparar:
  • Interior: (0,0) com f=0; \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr) com f=-\tfrac{32}{27}\approx-1{,}185.
  • Aresta x=0: (0,0) com 0; (0,-3) com 9; (0,1) com 1.
  • Aresta x=5: (5,0) com 75; (5,-3) com 84; (5,1) com 76.
  • Aresta y=-3: \bigl(\tfrac{4}{3},-3\bigr) com \tfrac{211}{27}\approx7{,}8148 (e já incluímos (0,-3)=9 e (5,-3)=84).
  • Aresta y=1: \bigl(\tfrac{4}{3},1\bigr) com -\tfrac{5}{27}\approx-0{,}1852 (e (0,1)=1, (5,1)=76).
Comparando todos os valores listados:
  • O menor valor encontrado é f\bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr)=-\tfrac{32}{27} (aprox. -1{,}185).
  • O maior valor encontrado é f(5,-3)=84.
Logo o mínimo absoluto ocorre em \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr) e o máximo absoluto ocorre em (5,-3).

Passo 9

Para completar a intuição (opcional): classifico localmente os pontos críticos usando a matriz Hessiana. A Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6x-4 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
  • Em (0,0): f_{xx}=-4,\; f_{yy}=2 e \det H=-4\cdot 2=-8<0, então (0,0) é ponto de sela (não é mínimo nem máximo local).
  • Em \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr): f_{xx}=6\cdot\tfrac{4}{3}-4=8-4=4>0, f_{yy}=2>0 e \det H=8>0, portanto é mínimo local — e, como vimos, também é o mínimo absoluto no retângulo.]

Resposta

Mínimo absoluto: \displaystyle f\Bigl(\tfrac{4}{3},0\Bigr)=-\tfrac{32}{27}
Máximo absoluto: \displaystyle f(5,-3)=84

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