Encontre e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções:
f(x, y)=x^{2} y^{2}-5 x^{2}-9 y^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede: encontrar todos os pontos críticos da função f e classificá-los (mínimo, máximo ou ponto de sela).
  • Função dada: f(x,y)=x^{2}y^{2}-5x^{2}-9y^{2}.
  • Informação útil que usaremos: pontos críticos são pontos onde o gradiente de f é o vetor zero, isto é, onde \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0). Depois de achar esses pontos vamos usar as derivadas segundas (Hessiano) para classificar cada ponto pelo teste das derivadas segundas em duas variáveis.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente).
  • Derivada parcial em relação a x:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{2}-5x^{2}-9y^{2}\big)
Para derivar termo a termo: \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{2})=2x y^{2}, \frac{\partial}{\partial x}(-5x^{2})=-10x, e \frac{\partial}{\partial x}(-9y^{2})=0. Logo
f_x=2x y^{2}-10x=2x\big(y^{2}-5\big).
  • Derivada parcial em relação a y:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{2}-5x^{2}-9y^{2}\big)
Aqui \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y^{2})=2y x^{2}, \frac{\partial}{\partial y}(-5x^{2})=0, \frac{\partial}{\partial y}(-9y^{2})=-18y. Logo
f_y=2y x^{2}-18y=2y\big(x^{2}-9\big).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo \nabla f=(0,0)\), ou seja o sistema \[\begin{cases} 2x\big(y^{2}-5\big)=0,\\[4pt] 2y\big(x^{2}-9\big)=0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da primeira equação temos 2x(y^{2}-5)=0\Rightarrow x=0\] ou \(y^{2}=5.
  • Da segunda temos 2y(x^{2}-9)=0\Rightarrow y=0 ou x^{2}=9.
Combinações possíveis:
  1. Se x=0 então a segunda equação vira 2y(0-9)=-18y=0\Rightarrow y=0. Isso dá o ponto \big(0,0\big).
  2. Se y=0 então a primeira vira 2x(0-5)=-10x=0\Rightarrow x=0. Isso é novamente \big(0,0\big).
  3. Se y^{2}=5 e x^{2}=9 então x=\pm 3 e y=\pm\sqrt{5}. Essas escolhas são independentes entre si, gerando quatro pontos: \big(3,\sqrt{5}\big),\\ \big(3,-\sqrt{5}\big),\\ \big(-3,\sqrt{5}\big),\\ \big(-3,-\sqrt{5}\big).
Portanto os pontos críticos são:
(0,0)\quad\text{e}\quad(\pm 3,\pm \sqrt{5})\\ \text{(quatro combinações de sinais)}.çõ]

Passo 4

Preparar o teste das derivadas segundas (Hessiano). Calculamos as segundas derivadas parciais:
  • f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x)=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(2x(y^{2}-5)\big)=2\big(y^{2}-5\big).
  • f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(2y(x^{2}-9)\big)=2\big(x^{2}-9\big).
  • f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x)=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(2x(y^{2}-5)\big)=2x\cdot 2y=4xy.
    Observação: f_{yx}=f_{xy}=4xy.
No teste das derivadas segundas em duas variáveis usamos o discriminante
D=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}.
As regras:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então ponto de mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então ponto de máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Avaliar o Hessiano e classificar ponto a ponto.
  1. Ponto \big(0,0\big).
  • f_{xx}(0,0)=2\big(0-5\big)=-10.
  • f_{yy}(0,0)=2\big(0-9\big)=-18.
  • f_{xy}(0,0)=4\cdot 0\cdot 0=0.
  • Discriminante:
D(0,0)=(-10)(-18)-0^{2}=180>0.
Como D>0 e f_{xx}(0,0)=-10<0, pelo teste temos que \big(0,0\big) é um ponto de máximo local.
  1. Pontos \big(\pm 3,\pm\sqrt{5}\big).
    Para qualquer combinação de sinais temos x^{2}=9 e y^{2}=5. Então:
  • f_{xx}=2\big(y^{2}-5\big)=2(5-5)=0.
  • f_{yy}=2\big(x^{2}-9\big)=2(9-9)=0.
  • f_{xy}=4xy que não é zero em geral; seu quadrado é
\big(f_{xy}\big)^{2}=(4xy)^{2}=16x^{2}y^{2}=16\cdot 9\cdot 5=16\cdot 45=720.
  • Discriminante:
D=0\cdot 0 - 720 = -720 <0.
Como D<0, cada um dos pontos \big(3,\sqrt{5}\big),\\ \big(3,-\sqrt{5}\big),\\ \big(-3,\sqrt{5}\big),\\ \big(-3,-\sqrt{5}\big) é um ponto de sela.
Observação intuitiva rápida: nesses pontos as derivadas segundas puras são zero mas o termo misto é forte o suficiente para produzir curvaturas de sinais opostos em direções diferentes — comportamento típico de sela.

Resposta

(0,0) — máximo local
(3,\sqrt{5}) — ponto de sela
(3,-\sqrt{5}) — ponto de sela
(-3,\sqrt{5}) — ponto de sela
(-3,-\sqrt{5}) — ponto de sela

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