Encontre e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede: encontrar todos os pontos críticos da função
e classificá-los (mínimo, máximo ou ponto de sela). - Função dada:
. - Informação útil que usaremos: pontos críticos são pontos onde o gradiente de
é o vetor zero, isto é, onde . Depois de achar esses pontos vamos usar as derivadas segundas (Hessiano) para classificar cada ponto pelo teste das derivadas segundas em duas variáveis.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente).
- Derivada parcial em relação a
:
Para derivar termo a termo:
,
, e
. Logo
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui
,
,
. Logo
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo
Resolver passo a passo:
- Da primeira equação temos .
- Da segunda temos
ou .
Combinações possíveis:
- Se
então a segunda equação vira . Isso dá o ponto . - Se
então a primeira vira . Isso é novamente . - Se
e então e . Essas escolhas são independentes entre si, gerando quatro pontos: .
Portanto os pontos críticos são:
Passo 4
Preparar o teste das derivadas segundas (Hessiano). Calculamos as segundas derivadas parciais:
-
. -
. -
.
Observação:.
No teste das derivadas segundas em duas variáveis usamos o discriminante
As regras:
- Se
e então ponto de mínimo local. - Se
e então ponto de máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 5
Avaliar o Hessiano e classificar ponto a ponto.
- Ponto
.
-
-
-
- Discriminante:
Como
e
, pelo teste temos que
é um ponto de máximo local.
- Pontos
.
Para qualquer combinação de sinais temose . Então:
-
-
-
que não é zero em geral; seu quadrado é
- Discriminante:
Como
, cada um dos pontos
é um ponto de sela.
Observação intuitiva rápida: nesses pontos as derivadas segundas puras são zero mas o termo misto é forte o suficiente para produzir curvaturas de sinais opostos em direções diferentes — comportamento típico de sela.