Encontre os valores máximo e mínimo de:
f(x, y)=x y sujeito à restrição x^{2}-y=2, considerando y \geq 0. Explique por que essa suposição é necessária.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x,y)=xy sob a restrição
x^{2}-y=2
e considerando ainda a condição adicional y\geq 0. Também é pedido que eu explique por que a suposição y\geq 0 é necessária.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=xy.
  • A restrição é x^{2}-y=2, que pode ser reescrita como y=x^{2}-2.
  • Há a condição extra y\geq 0.
O que se busca:
  • Determinar o(s) valor(es) máximo(s) e mínimo(s) de f quando (x,y) satisfazem a restrição e y\ge 0.
  • Explicar por que a condição y\ge 0 é necessária (ou que efeito ela tem).

Passo 2

Troco a variável y usando a restrição, para transformar o problema numa função de uma variável só. Da restrição segue
y = x^{2}-2.
Substituindo em f,
f(x,y)=xy \quad\Rightarrow\quad f(x)=x\bigl(x^{2}-2\bigr)=x^{3}-2x.
Agora o problema é estudar a função de uma variável f(x)=x^{3}-2x sujeita à condição adicional que vem de y\ge 0.

Passo 3

Imponho a condição y\ge 0. Como y=x^{2}-2, temos
x^{2}-2 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\ge 2 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|\ge \sqrt{2}.
Portanto o domínio admissível, depois de eliminar y, é a união de dois ramos
(-\infty,-\sqrt{2}] \;\cup\; [\sqrt{2},\infty).
Observação: sem a condição y\ge 0 o domínio seria todo \mathbb{R}, mas com y\ge0 ficam apenas os dois ramos externos.

Passo 4

Vou procurar pontos críticos de f(x)=x^{3}-2x e depois verificar se são admissíveis (isto é, se satisfazem |x|\ge\sqrt{2}).
Calculo a derivada:
f'(x)=3x^{2}-2.
As soluções de f'(x)=0 são
3x^{2}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{2}{3}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
Numérico aproximado: \sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx 0{,}816.

Passo 5

Verifico a admissibilidade dos candidatos:
  • Os pontos x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}} não pertencem ao domínio admissível porque |\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}|=\sqrt{\tfrac{2}{3}}<\sqrt{2}. Em termos de y, nesses x temos y=x^{2}-2=\tfrac{2}{3}-2=-\tfrac{4}{3}<0, ou seja, violam y\ge0.
Concluo que não há pontos críticos internos (com f'(x)=0) no domínio admissível. Logo os extremos, se existirem, só podem ocorrer:
  • em pontos de fronteira do domínio admissível (aqui: x=\pm\sqrt{2}, que correspondem a y=0), ou
  • em comportamento na infinidade (limites quando x\to\pm\infty).

Passo 6

Avalio f nos pontos de fronteira x=\pm\sqrt{2}:
\text{Para } x=\sqrt{2}:\quad f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{3}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0.
\text{Para } x=-\sqrt{2}:\quad f(-\sqrt{2})=(-\sqrt{2})^{3}-2(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=0.
Portanto ambos os pontos (\sqrt{2},0) e (-\sqrt{2},0) dão f=0.
Agora verifico os comportamentos quando x\to\pm\infty:
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{3}-2x\bigr)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty.
Isto mostra que, no domínio admissível, f cresce sem limite no ramo direito e decresce sem limite no ramo esquerdo.

Passo 7

Interpretação dos resultados (o que são máximos/minimos):
  • Não existe máximo global finito: ao tomar x cada vez maior em [\,\sqrt{2},\infty) obtém-se f(x)\to+\infty.
  • Não existe mínimo global finito: ao tomar x cada vez menor em (-\infty,-\sqrt{2}] obtém-se f(x)\to-\infty.
  • Contudo, sobre cada ramo separado há um extremo alcançado na fronteira y=0:
    • No ramo direito [\,\sqrt{2},\infty) a função f é crescente (pois f'(x)=3x^{2}-2>0 para x^2\ge 2), então o menor valor nesse ramo ocorre em x=\sqrt{2} e é f=0. Assim (\sqrt{2},0) é um mínimo relativo (e mínimo absoluto nesse ramo).
    • No ramo esquerdo (-\infty,-\sqrt{2}] a função também tem f'(x)>0 (então f é crescente com x), portanto o maior valor nesse ramo ocorre no extremo direito do ramo, isto é em x=-\sqrt{2}, e esse valor é f=0. Assim (-\sqrt{2},0) é um máximo relativo (e máximo absoluto nesse ramo).

Passo 8

Sem a condição y\ge0 o domínio seria todo \mathbb{R} (pois y=x^{2}-2 sempre dá um y real para qualquer x). Nesse caso haveria pontos críticos internos x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}} (onde f'(x)=0) e esses pontos gerariam um mínimo local e um máximo local (valores finitos). Mas a condição y\ge0 remove justamente esses pontos (porque nesses x o valor de y é negativo), mudando a geometria do domínio: resta apenas os dois ramos externos onde os únicos extremos ocorrentes estão nas fronteiras y=0. Em resumo: a suposição é necessária porque ela altera quais pontos da curva y=x^{2}-2 são admissíveis — em particular ela exclui as soluções interiores do sistema f'(x)=0 que estão em y<0.

Resposta

Não existe máximo global ( f\to+\infty quando x\to+\infty ).
Não existe mínimo global ( f\to-\infty quando x\to-\infty ).
Pontos de extremo sobre cada ramo: (\sqrt{2},0) é o mínimo no ramo x\ge\sqrt{2} com f=0; (-\sqrt{2},0) é o máximo no ramo x\le -\sqrt{2} com f=0.

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