Encontre os valores máximo e mínimo de:
sujeito à restrição
, considerando
. Explique por que essa suposição é necessária.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
sob a restrição
e considerando ainda a condição adicional
. Também é pedido que eu explique por que a suposição
é necessária.
Informações dadas:
- A função é
. - A restrição é
, que pode ser reescrita como . - Há a condição extra
.
O que se busca:
- Determinar o(s) valor(es) máximo(s) e mínimo(s) de
quando satisfazem a restrição e . - Explicar por que a condição
é necessária (ou que efeito ela tem).
Passo 2
Troco a variável
usando a restrição, para transformar o problema numa função de uma variável só. Da restrição segue
Substituindo em
,
Agora o problema é estudar a função de uma variável
sujeita à condição adicional que vem de
.
Passo 3
Imponho a condição
. Como
, temos
Portanto o domínio admissível, depois de eliminar
, é a união de dois ramos
Observação: sem a condição
o domínio seria todo
, mas com
ficam apenas os dois ramos externos.
Passo 4
Vou procurar pontos críticos de
e depois verificar se são admissíveis (isto é, se satisfazem
).
Calculo a derivada:
As soluções de
são
Numérico aproximado:
.
Passo 5
Verifico a admissibilidade dos candidatos:
- Os pontos
não pertencem ao domínio admissível porque . Em termos de , nesses temos , ou seja, violam .
Concluo que não há pontos críticos internos (com
) no domínio admissível. Logo os extremos, se existirem, só podem ocorrer:
- em pontos de fronteira do domínio admissível (aqui:
, que correspondem a ), ou - em comportamento na infinidade (limites quando
).
Passo 6
Avalio
nos pontos de fronteira
:
Portanto ambos os pontos
e
dão
.
Agora verifico os comportamentos quando
:
Isto mostra que, no domínio admissível,
cresce sem limite no ramo direito e decresce sem limite no ramo esquerdo.
Passo 7
Interpretação dos resultados (o que são máximos/minimos):
- Não existe máximo global finito: ao tomar
cada vez maior em obtém-se . - Não existe mínimo global finito: ao tomar
cada vez menor em obtém-se . - Contudo, sobre cada ramo separado há um extremo alcançado na fronteira
: - No ramo direito
a função é crescente (pois para ), então o menor valor nesse ramo ocorre em e é . Assim é um mínimo relativo (e mínimo absoluto nesse ramo). - No ramo esquerdo
a função também tem (então é crescente com ), portanto o maior valor nesse ramo ocorre no extremo direito do ramo, isto é em , e esse valor é . Assim é um máximo relativo (e máximo absoluto nesse ramo).
- No ramo direito
Passo 8
Sem a condição
o domínio seria todo
(pois
sempre dá um
real para qualquer
). Nesse caso haveria pontos críticos internos
(onde
) e esses pontos gerariam um mínimo local e um máximo local (valores finitos). Mas a condição
remove justamente esses pontos (porque nesses
o valor de
é negativo), mudando a geometria do domínio: resta apenas os dois ramos externos onde os únicos extremos ocorrentes estão nas fronteiras
. Em resumo: a suposição é necessária porque ela altera quais pontos da curva
são admissíveis — em particular ela exclui as soluções interiores do sistema
que estão em
.
Resposta
Não existe máximo global (
quando
).
Não existe mínimo global ( quando
).
Pontos de extremo sobre cada ramo: é o mínimo no ramo
com
;
é o máximo no ramo
com
.
Não existe mínimo global (
Pontos de extremo sobre cada ramo: