Encontre a derivada parcial usando regra da cadeia
D_{s}(w) onde w=e^{-t} \sin (s+u)

Passo 1

O enunciado dá a função w em termos de três variáveis:
w = e^{-t}\sin(s+u).
A pergunta é: calcular a derivada parcial D_{s}(w), ou seja, \dfrac{\partial w}{\partial s}.
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vou usar):
  • w é função de s, t e u.
  • Ao derivar em relação a s, t e u são tratados como constantes (não dependem de s).
  • O termo \sin(s+u) é uma função composta cujo argumento depende de s.

Passo 2

Lembrete didático: regra da cadeia e regra do produto (ferramentas que aparecem aqui).
  • Regra da cadeia: se F(x)=f(g(x)), então
F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Explicando: primeiro deriva-se a função externa f avaliada em g(x), depois multiplica-se pela derivada da função interna g(x).
  • Regra do produto: se H(x)=p(x)\cdot q(x), então
H'(x)=p'(x)\cdot q(x)+p(x)\cdot q'(x).
Explicando: deriva-se o primeiro fator e multiplica-se pelo segundo, e soma-se o primeiro fator vezes a derivada do segundo.
Exemplo simples para fixar: \dfrac{d}{dx}\sin(3x)=\cos(3x)\cdot 3 (a função externa \sin vira \cos e multiplica-se pela derivada do interno 3x, que é 3).

Passo 3

Aplicando essas ideias ao nosso w. Escrevo w destacando os fatores:
w(s,t,u)=\bigl(e^{-t}\bigr)\cdot\sin(s+u).
Aqui vemos um produto entre e^{-t} e \sin(s+u). Ao derivar em relação a s, observo que e^{-t} não depende de s (porque t é tratado como constante), então a derivada de e^{-t} em relação a s é 0. Posso então aplicar a regra do produto de forma direta ou notar que o produto é constante vezes uma função de s. Faço pelo caminho direto com produto e cadeia:
Calculo passo a passo a derivada parcial:
\frac{\partial w}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-t}\bigr)\cdot\sin(s+u) + e^{-t}\cdot\frac{\partial}{\partial s}\bigl(\sin(s+u)\bigr).

Passo 4

Avalio cada termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-t}\bigr)=0 porque e^{-t} não depende de s.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial s}\bigl(\sin(s+u)\bigr) uso a regra da cadeia com f(x)=\sin x e g(s)=s+u. Assim
\frac{\partial}{\partial s}\bigl(\sin(s+u)\bigr) =\cos(s+u)\cdot\frac{\partial}{\partial s}(s+u).
Como \dfrac{\partial}{\partial s}(s+u)=1 (porque u é constante frente a s), fica
\frac{\partial}{\partial s}\bigl(\sin(s+u)\bigr)=\cos(s+u).

Passo 5

Juntando os termos:
\frac{\partial w}{\partial s} = 0\cdot\sin(s+u) + e^{-t}\cdot\cos(s+u) = e^{-t}\cos(s+u).
Interpretação rápida: o fator e^{-t} apenas escala a derivada da parte \sin(s+u); a derivada da seno aplicada ao argumento retorna \cos do argumento e a derivada do argumento (s+u) é 1.

Resposta

D_{s}(w)=e^{-t}\cos(s+u)

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