Encontre a derivada parcial usando regra da cadeia
onde
Passo 1
O enunciado dá a função
em termos de três variáveis:
A pergunta é: calcular a derivada parcial
, ou seja,
.
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vou usar):
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vou usar):
-
é função de , e . - Ao derivar em relação a
, e são tratados como constantes (não dependem de ). - O termo
é uma função composta cujo argumento depende de .
Passo 2
Lembrete didático: regra da cadeia e regra do produto (ferramentas que aparecem aqui).
- Regra da cadeia: se
, então
Explicando: primeiro deriva-se a função externa
avaliada em
, depois multiplica-se pela derivada da função interna
.
- Regra do produto: se
, então
Explicando: deriva-se o primeiro fator e multiplica-se pelo segundo, e soma-se o primeiro fator vezes a derivada do segundo.
Exemplo simples para fixar:
(a função externa
vira
e multiplica-se pela derivada do interno
, que é
).
Passo 3
Aplicando essas ideias ao nosso
. Escrevo
destacando os fatores:
Aqui vemos um produto entre
e
. Ao derivar em relação a
, observo que
não depende de
(porque
é tratado como constante), então a derivada de
em relação a
é
. Posso então aplicar a regra do produto de forma direta ou notar que o produto é constante vezes uma função de
. Faço pelo caminho direto com produto e cadeia:
Calculo passo a passo a derivada parcial:
Passo 4
Avalio cada termo:
-
porque não depende de . - Para
uso a regra da cadeia com e . Assim
Como
(porque
é constante frente a
), fica
Passo 5
Juntando os termos:
Interpretação rápida: o fator
apenas escala a derivada da parte
; a derivada da seno aplicada ao argumento retorna
do argumento e a derivada do argumento
é
.