Encontre o comprimento de arco da curva dada pela interseção do elipsoide x^{2}+y^{2}+9 z^{2}=25 e o plano y-4 z=0 entre os pontos (5,0,0) e (0,4,1).
Dica: \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{8 t^{2}+17}{1-t^{2}}} d t \approx 7.18

Passo 1

O problema pede o comprimento de arco da curva de interseção entre o elipsoide
x^{2}+y^{2}+9z^{2}=25
e o plano
y-4z=0
entre os pontos (5,0,0) e (0,4,1).
O conteúdo que vamos usar inclui a descrição paramétrica da curva de interseção e a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço:
L = \int_{a}^{b} \bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert \,dt.

Passo 2

Na reta de interseção temos y=4z. Substituindo no elipsoide:
x^{2} + (4z)^{2} + 9z^{2} = 25 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 16z^{2} + 9z^{2} = 25 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 25z^{2} = 25.
Isso é uma elipse no plano xz dada por
\frac{x^{2}}{25} + \frac{z^{2}}{1} = 1.

Passo 3

Parametrizamos essa elipse usando z=t, de t=0 (que dá (5,0,0)) até t=1 (que dá (0,4,1)). Assim,
x(t) = 5\sqrt{1 - t^{2}}, \quad y(t) = 4t, \quad z(t) = t, \quad 0 \le t \le 1.
Em vetor,
\mathbf{r}(t) = \bigl(5\sqrt{1 - t^{2}},\,4t,\,t\bigr).

Passo 4

Calculamos a derivada \mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}'(t) = \Bigl(-5\,\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}},\,4,\,1\Bigr).
O seu módulo é
\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert = \sqrt{\Bigl(-5\,\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\Bigr)^{2} + 4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\frac{25t^{2}}{1-t^{2}} + 17} = \sqrt{\frac{8t^{2} + 17}{1 - t^{2}}}.

Passo 5

Pelo comprimento de arco,
L = \int_{0}^{1} \bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert \,dt = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{8t^{2} + 17}{1 - t^{2}}}\,dt.
Usando a dica numérica,
L \approx 7{,}18.

Resposta

O comprimento de arco da curva de interseção é aproximadamente 7{,}18.

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