Encontre a curvatura dos pontos da curva espiral r(t)=(t \cos (t), t \operatorname{sen}(t), t), t \in \mathbb{R} onde intercepta a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 \pi^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a curvatura de uma curva no espaço
r(t) = \bigl(t\cos t,\;t\operatorname{sen} t,\;t\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
nos pontos em que essa curva intercepta a esfera
x^2+y^2+z^2 = 2\pi^2.
O conteúdo principal é o cálculo de curvatura de uma curva espaço usando a fórmula
\kappa(t) = \frac{\bigl\|r'(t)\times r''(t)\bigr\|}{\bigl\|r'(t)\bigr\|^3}.
Vamos precisar de r'(t), r''(t), do produto vetorial r'\times r'' e das normas desses vetores.

Passo 2

Primeiro achamos os valores de t em que r(t) está sobre a esfera. Note que
\|r(t)\|^2 = (t\cos t)^2 + (t\operatorname{sen} t)^2 + t^2 = t^2\bigl(\cos^2 t + \operatorname{sen}^2 t\bigr) + t^2 = 2\,t^2.
A condição da esfera é 2\,t^2 = 2\pi^2, logo
t^2 = \pi^2 \quad\Longrightarrow\quad t = \pm \pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas de r(t):
r'(t) = \bigl(\cos t - t\operatorname{sen} t,\;\operatorname{sen} t + t\cos t,\;1\bigr),
r''(t) = \bigl(-2\operatorname{sen} t - t\cos t,\;2\cos t - t\operatorname{sen} t,\;0\bigr).

Passo 4

Fazemos o produto vetorial r'(t)\times r''(t). Chamando
A = \cos t - t\operatorname{sen} t,\quad B=\operatorname{sen} t + t\cos t,
C = -2\operatorname{sen} t - t\cos t,\quad D=2\cos t - t\operatorname{sen} t,
temos
r'\times r'' = \bigl(-D,\;C,\;A\,D - B\,C\bigr).
Calcula-se
A\,D - B\,C = 2 + t^2,
portanto
r'(t)\times r''(t) = \bigl(-2\cos t + t\operatorname{sen} t,\;-2\operatorname{sen} t - t\cos t,\;t^2+2\bigr).

Passo 5

Agora obtemos as normas:
\bigl\|r'(t)\times r''(t)\bigr\| = \sqrt{\bigl(-2\cos t + t\operatorname{sen} t\bigr)^2 + \bigl(-2\operatorname{sen} t - t\cos t\bigr)^2 + (t^2+2)^2} = \sqrt{t^4 + 5\,t^2 + 8},
\|r'(t)\| = \sqrt{(\cos t - t\operatorname{sen} t)^2 + (\operatorname{sen} t + t\cos t)^2 + 1} = \sqrt{t^2 + 2},
logo a curvatura genérica é
\kappa(t) = \frac{\sqrt{t^4 + 5\,t^2 + 8}}{(t^2+2)^{3/2}}.

Passo 6

Bastam os valores t=\pm\pi. Como t^2=\pi^2 dá o mesmo numerador e denominador, obtemos
\kappa(\pm\pi) = \frac{\sqrt{\pi^4 +5\pi^2 +8}}{(\pi^2+2)^{3/2}}.

Resposta

\kappa\bigl(t=\pm\pi\bigr) = \frac{\sqrt{\pi^4 +5\pi^2 +8}}{(\pi^2+2)^{3/2}}.

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