Encontre a curvatura dos pontos da curva espiral r(t)=(t \cos (t), t \operatorname{sen}(t), t), t \in \mathbb{R} onde intercepta a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 \pi^{2}. Passo 1O enunciado pede a curvatura de uma curva no espaço r(t) = \bigl(t\cos t,\;t\operatorname{sen} t,\;t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}, nos pontos em que essa curva intercepta a esfera x^2+y^2+z^2 = 2\pi^2. O conteúdo principal é o cálculo de curvatura de uma curva espaço usando a fórmula \kappa(t) = \frac{\bigl\|r'(t)\times r''(t)\bigr\|}{\bigl\|r'(t)\bigr\|^3}. Vamos precisar de r'(t), r''(t), do produto vetorial r'\times r'' e das normas desses vetores. Passo 2Primeiro achamos os valores de t em que r(t) está sobre a esfera. Note que \|r(t)\|^2 = (t\cos t)^2 + (t\operatorname{sen} t)^2 + t^2 = t^2\bigl(\cos^2 t + \operatorname{sen}^2 t\bigr) + t^2 = 2\,t^2. A condição da esfera é 2\,t^2 = 2\pi^2, logo t^2 = \pi^2 \quad\Longrightarrow\quad t = \pm \pi. Passo 3Calculamos as derivadas de r(t): r'(t) = \bigl(\cos t - t\operatorname{sen} t,\;\operatorname{sen} t + t\cos t,\;1\bigr), r''(t) = \bigl(-2\operatorname{sen} t - t\cos t,\;2\cos t - t\operatorname{sen} t,\;0\bigr). Passo 4Fazemos o produto vetorial r'(t)\times r''(t). Chamando A = \cos t - t\operatorname{sen} t,\quad B=\operatorname{sen} t + t\cos t, C = -2\operatorname{sen} t - t\cos t,\quad D=2\cos t - t\operatorname{sen} t, temos r'\times r'' = \bigl(-D,\;C,\;A\,D - B\,C\bigr). Calcula-se A\,D - B\,C = 2 + t^2, portanto r'(t)\times r''(t) = \bigl(-2\cos t + t\operatorname{sen} t,\;-2\operatorname{sen} t - t\cos t,\;t^2+2\bigr). Passo 5Agora obtemos as normas: \bigl\|r'(t)\times r''(t)\bigr\| = \sqrt{\bigl(-2\cos t + t\operatorname{sen} t\bigr)^2 + \bigl(-2\operatorname{sen} t - t\cos t\bigr)^2 + (t^2+2)^2} = \sqrt{t^4 + 5\,t^2 + 8}, \|r'(t)\| = \sqrt{(\cos t - t\operatorname{sen} t)^2 + (\operatorname{sen} t + t\cos t)^2 + 1} = \sqrt{t^2 + 2}, logo a curvatura genérica é \kappa(t) = \frac{\sqrt{t^4 + 5\,t^2 + 8}}{(t^2+2)^{3/2}}. Passo 6Bastam os valores t=\pm\pi. Como t^2=\pi^2 dá o mesmo numerador e denominador, obtemos \kappa(\pm\pi) = \frac{\sqrt{\pi^4 +5\pi^2 +8}}{(\pi^2+2)^{3/2}}. Resposta \kappa\bigl(t=\pm\pi\bigr) = \frac{\sqrt{\pi^4 +5\pi^2 +8}}{(\pi^2+2)^{3/2}}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDeseja-se converter um sinal analógico, descrito por \mathrm{m}(t)=\cos \left(2 \pi 15 \times 10^{3} t\right), em um sinal digital. Admitindo o uso de uma frequência de amostragem 2 vezes maior do que a frequência de \mathrm{m}(t), determine: (a) O número de níveis de quantização, caso o processo de codificação utilize 6 bits. (b) O número de bits necessário para a codificação, caso 30 níveis de quantização sejam utilizados. (c) A taxa de dados do sinal digitalizado, considerando o item anterior. Tem-se um sistema de comunicação digital que admite em sua entrada sinais analógicos e digitais. Supondo que uma determinada fonte de informação entregue a este sistema uma sequência de bits para a transmissão, pergunta-se: Qual deve ser a taxa de amostragem e a quantidade de níveis de quantização usados no codificador de fonte? Seja r(t)=\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}(\cos (t), \operatorname{sen}(t), t), t \in \mathbb{R}. Mostre que r(t) é perpen- dicular a seu vetor tangente r^{\prime}(t) para todo t \in \mathbb{R}. Por outro lado, verifique se r^{\prime}(t) é contínua em t=0. Encontre o comprimento de arco da curva dada pela interseção do elipsoide x^{2}+y^{2}+9 z^{2}=25 e o plano y-4 z=0 entre os pontos (5,0,0) e (0,4,1). Dica: \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{8 t^{2}+17}{1-t^{2}}} d t \approx 7.18