Seja
. Mostre que
é perpen- dicular a seu vetor tangente
para todo
. Por outro lado, verifique se
é contínua em
.
Passo 1
O enunciado define a curva
e pede duas coisas:
- Mostrar que
é perpendicular ao seu vetor tangente para todo . - Verificar se
é contínua em .
Para isso vamos usar regra do produto para derivar
, depois calcular o produto escalar
e, por fim, examinar o limite de
em
.
Passo 2
Escrevemos
onde
Então
e, pela regra do produto,
Passo 3
Para ver se
calculamos
Note que
Substituindo,
Logo
para todo
.
Passo 4
Agora avaliamos
. Em
temos
logo
Passo 5
Por fim, como
e
são funções compostas de polinômios, radicais e funções trigonométricas, todas infinitamente diferenciáveis, segue-se que
é contínua em toda reta real. Em particular,
logo não há descontinuidade em
.