Seja r(t)=\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}(\cos (t), \operatorname{sen}(t), t), t \in \mathbb{R}. Mostre que r(t) é perpen- dicular a seu vetor tangente r^{\prime}(t) para todo t \in \mathbb{R}. Por outro lado, verifique se r^{\prime}(t) é contínua em t=0.

Passo 1

O enunciado define a curva
r(t)=\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}\bigl(\cos t,\;\sin t,\;t\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que r(t) é perpendicular ao seu vetor tangente r'(t) para todo t.
  2. Verificar se r'(t) é contínua em t=0.
Para isso vamos usar regra do produto para derivar r(t), depois calcular o produto escalar r(t)\cdot r'(t) e, por fim, examinar o limite de r'(t) em t=0.

Passo 2

Escrevemos
r(t)=f(t)\,g(t),
onde
f(t)=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}, \qquad g(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;t\bigr).
Então
f'(t)=-\frac{t}{(t^2+1)^{3/2}}, \qquad g'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;1\bigr),
e, pela regra do produto,
r'(t)=f'(t)\,g(t)+f(t)\,g'(t).

Passo 3

Para ver se r(t)\perp r'(t) calculamos
r(t)\cdot r'(t) =\bigl(f(t)\,g(t)\bigr)\cdot\bigl(f'(t)\,g(t)+f(t)\,g'(t)\bigr) =f(t)f'(t)\,g(t)\cdot g(t) +f(t)^2\,g(t)\cdot g'(t).
Note que
g(t)\cdot g(t)=\cos^2t+\sin^2t+t^2=1+t^2, \qquad g(t)\cdot g'(t)=(\cos t)(-\sin t)+(\sin t)(\cos t)+t\cdot1=t.
Substituindo,
r(t)\cdot r'(t) =f(t)f'(t)(1+t^2)+f(t)^2\,t =\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\!\!\Bigl(-\frac{t}{(t^2+1)^{3/2}}\Bigr)(1+t^2) +\frac{1}{t^2+1}\,t =0.
Logo r(t)\perp r'(t) para todo t.

Passo 4

Agora avaliamos r'(0). Em t=0 temos
f(0)=1, \quad f'(0)=0, \quad g(0)=(1,0,0), \quad g'(0)=(0,1,1),
logo
r'(0)=f'(0)\,g(0)+f(0)\,g'(0)=(0,1,1).

Passo 5

Por fim, como f(t) e g(t) são funções compostas de polinômios, radicais e funções trigonométricas, todas infinitamente diferenciáveis, segue-se que r'(t) é contínua em toda reta real. Em particular,
\lim_{t\to0}r'(t)=r'(0)=(0,1,1),
logo não há descontinuidade em t=0.

Resposta

r(t) é sempre perpendicular a r'(t) e r'(t) é contínua em t=0.

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