Encontre o comprimento de arco da curva do ponto A ao ponto B.
9 y^2=x(x-3)^2 ; A(0,0), B(4, 23)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva implícita
9y^2 = x(x-3)^2
do ponto A(0,0) ao ponto Bl(4,tfrac23r). Vamos tratar y como função de x, encontrar y'(x), usar a fórmula
L = integralxA^xB raiz1 + l(y'(x)r)^2,dx
e avaliar de x=0 a x=4.

Passo 2

Da equação 9y^2 = x(x-3)^2 temos
y = pm raizx,l|x-3r|3
Como queremos o ramo que passa por A e por B com y>=0, definimos
y(x)= 3 - x3,raizx, & 0<= x<= 3,[6pt] x - 33,raizx, & 3<= x<= 4 ]

Passo 3

Calculamos y'(x) em cada ramo.
Para 0<x<3, escrevendo y=(3-x)x^1/2/3, obtemos
y'(x)=1-x2raizx
Para 3<x<4, com y=(x-3)x^1/2/3, vem
y'(x)=x-12raizx

Passo 4

Em ambos os trechos
1 + l(y'(x)r)^2 =1 + (1mp x)^24x =4x + (x-1)^24x =(x+1)^24x,
portanto
raiz1 + l(y'(x)r)^2 =x+12raizx
Note que o mesmo integrando vale de 0 a 4 (exceto na simples singular em 0, mas é integrável).

Passo 5

O comprimento de arco é
L = integral0^4 x+12raizx,dx =12integral0^4l(x^1/2+x^-1/2r),dx =12l[tfrac23x^3/2+2x^1/2r]0^4 =12l(tfrac23cdot8 + 2cdot2r) =143

Resposta

boxedL = 143

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