Encontre o comprimento de arco da curva do ponto A ao ponto B.
y=1-x^2 / 3 ; A(1,0), B(8,-3)

Passo 1

O exercício pede para a gente achar o comprimento de arco da curva
y = 1 - x^2/3
do ponto A(1,0) até o ponto B(8,-3).
Conteúdo: comprimento de arco de função y=f(x).
O que vamos precisar:
  1. Derivar y para achar y'=dydx.
  2. Usar a fórmula do comprimento de arco
L = integralx1^x2 raiz1 + l(y'r)^2,dx
  1. Fazer substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, a gente deriva
y = 1 - x^2/3 Longrightarrow y' = -23,x^-1/3
Teoria: a derivada de x^m é m,x^m-1.

Passo 3

Agora, monta a fórmula do comprimento de arco de x=1 até x=8:
L = integral1^8 raiz1 + l(y'r)^2,dx = integral1^8 raiz1 + l(-tfrac23x^-1/3r)^2,dx

Passo 4

Dentro da raiz:
1 + l(-tfrac23x^-1/3r)^2 = 1 + tfrac49,x^-2/3 = 9,x^2/3 + 49,x^2/3
Então
raiz1 + (y')^2 = raiz9,x^2/3 + 43,x^1/3

Passo 5

A integral fica
L = integral1^8 raiz9,x^2/3 + 43,x^1/3,dx
Para resolver, a gente faz a troca x^1/3=t.
Então
x = t^3, dx = 3,t^2,dt, x=1Rightarrow t=1, x=8Rightarrow t=2
Substituindo:
L = integralt=1^2 raiz9,t^2 + 43,t;l(3,t^2,dtr) = integral1^2 t,raiz9t^2+4;dt

Passo 6

Agora a integral
integral t,raiz9t^2+4;dt
Usa u=9t^2+4, daí du=18t,dt ou t,dt=tfracdu18.
Então
integral t,u^1/2,dt = integral u^1/2,du18 = 118,integral u^1/2,du = 118,cdot23,u^3/2 = 127,u^3/2
Voltando a t e aplicando os limites u(1)=9cdot1^2+4=13 e u(2)=9cdot4+4=40:
L = 127l[,40^3/2 - 13^3/2r]

Resposta

boxedL = 127l(40^3/2 - 13^3/2r) = 127,l(80raiz10 - 13raiz13r)

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