Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva.
y=e^x cos x, 0 <= x <= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para “escrever, mas não calcular” a integral que dá o comprimento da curva
y = e^xcos x, 0<= x<= tfracpi2
Conteúdo: Cálculo de comprimento de arco de uma função y=f(x).
O que precisamos:
  1. A fórmula geral do comprimento de arco
  2. A derivada y'(x) para substituir na fórmula

Passo 2

Antes de usar a fórmula, vamos encontrar a derivada de
y = e^xcos x
Usamos a regra do produto:
y' = ddx(e^x),cos x + e^x,ddx(cos x) = e^xcos x + e^x(-sin x) = e^xl(cos x - sin xr)

Passo 3

A fórmula do comprimento de arco L de y=f(x) no intervalo [a,b] é
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx
Aqui a=0, b=tfracpi2 e f'(x)=e^x(cos x - sin x).
Substituindo:
L = integral0^pi/2 raiz1 + l[e^x(cos x - sin x)r]^2 ;dx = integral0^pi/2 raiz1 + e^2x(cos x - sin x)^2 ;dx

Resposta

L = integral0^pi/2 raiz1 + e^2x(cos x - sin x)^2 ;dx

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