O enunciado nos dá uma função por partes e pede que a gente faça o esboço do gráfico, calcule limites laterais em x=–2, –1 e 0, e avalie se o limite total e a f(x) nesses pontos existem e coincidem. O conteúdo envolvido é análise de funções definidas por trechos, limites laterais e continuidade/descontinuidade.
Passo 2
Para esboçar o gráfico, analisamos cada trecho:
– Para x<–2, f(x)=x+2 é uma reta (coeficiente angular 1, intercepto 2). No ponto x=–2 ela vai a f(–2–)=0 (marcamos um círculo aberto em (–2,0)).
– Em x=–2, f(–2)=1 (marcamos ponto cheio em (–2,1)).
– Para –2<x≤–1, f(x)=–x–2 é reta (coeficiente –1, intercepto –2). No x→–2+ ela tende a 0 (círculo aberto em (–2,0)); em x=–1 vale f(–1)=–(–1)–2=–1 (ponto cheio em (–1,–1)).
– Para –1<x<0, f(x)=–1 é constante (segmento horizontal em y=–1, aberto em –1 e em 0).
– Em x=0, f(0)=0 (ponto cheio em (0,0)).
– Para x>0, f(x)=1 é constante (reta horizontal y=1, aberta em (0,1) e segue adiante).
Passo 3
Para x→–2, usamos definição de limite lateral:
– Limite pela esquerda: como x<–2 vale f(x)=x+2, então
limxto-2^-f(x)=(-2)+2=0
– Limite pela direita: para –2<x vale f(x)=–x–2, então limxto-2^+f(x)=(-2)2=0
E f(–2)=1.
Passo 4
Como os dois limites laterais em x=–2 coincidem em 0, o limite limxto-2f(x) existe e vale 0. Mas f(–2)=1≠0, logo há uma descontinuidade removível.
Passo 5
Agora em x→–1:
– Pelo lado esquerdo (–2<x<–1), f(x)=–x–2, logo
limxto-1^-f(x)=(-1)2=1
– Pelo lado direito (–1<x<0), f(x)=–1, então limxto-1^+f(x)=1
E f(–1) está no trecho –2<x≤–1, valendo f(–1)=–(–1)–2=–1.
Passo 6
Como as duas laterais em x=–1 coincidem em –1, o limite limxto-1f(x) existe e vale –1, e coincide com f(–1), de modo que a função é contínua em x=–1.
Passo 7
Agora em x→0:
– Pela esquerda (–1<x<0), f(x)=–1, então
limxto 0^-f(x)=1
– Pela direita (x>0), f(x)=1, logo limxto 0^+f(x)=1
E f(0)=0.
Passo 8
Como limxto0^-f(x)=1 e limxto0^+f(x)=1 são diferentes, não existe limxto0f(x).
Resposta
a) Esboço: reta de equação f(x)=x+2 para x<–2, com círculo aberto em (–2,0); ponto cheio em (–2,1); reta f(x)=–x–2 de –2 a –1 (incluso em x=–1) com ponto cheio em (–1,–1); segmento horizontal em y=–1 para –1<x<0; ponto (0,0); reta horizontal y=1 para x>0.
b) limxto-2^-f(x)=0,;limxto-2^+f(x)=0,;f(-2)=1
c) Sim, existe e vale 0, pois as duas laterais coincidem em 0.
d) limxto-1^-f(x)=-1,;limxto-1^+f(x)=-1,;f(-1)=-1
e) Sim, existe e vale –1.
f) limxto0^-f(x)=-1,;limxto0^+f(x)=1,;f(0)=0
g) Não existe limxto0f(x) pois as laterais são diferentes.