Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=2^infty (-1)^n(2 n)!x^nn!.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=2^infty (-1)^n(2 n)!x^nn!
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica muito útil para determinar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |,
onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = (-1)^n(2n)!x^nn!, e calcular an+1an = (-1)^n+1(2(n+1))!x^n+1/(n+1)!(-1)^n(2n)!x^n/n!:
então,

Passo 4

Simplificando a expressão:
an+1an = (-1)^n+1(-1)^n cdot (2n+2)(2n+1)x^n+1(n+1)! cdot n!(2n)!x^n = (2n+2)(2n+1)xn+1
Como estamos interessados no valor absoluto:
| an+1an | = (2n+2)(2n+1)|x|n+1

Passo 5

Vamos calcular o limite quando L = limn to infty (2n+2)(2n+1)|x|n+1 tende ao infinito:
L = limn to infty (2 + 2n)(2 + 1n)|x|1 + 1n = 2 cdot 2 |x|1 = 4|x|
Dividindo cada termo por :

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que 4|x| < 1 implies |x| < 14:
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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