Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica muito útil para determinar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
onde
é o termo geral da série. Se
, a série converge; se
, a série diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar
an = (-1)^n(2n)!x^nn!, e calcular
an+1an = (-1)^n+1(2(n+1))!x^n+1/(n+1)!(-1)^n(2n)!x^n/n! :
então,
Passo 4
Simplificando a expressão:
Como estamos interessados no valor absoluto:
Passo 5
Vamos calcular o limite quando
L = limn to infty (2n+2)(2n+1)|x|n+1 tende ao infinito:
Dividindo cada termo por
:
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que
4|x| < 1 implies |x| < 14 :
Portanto, o raio de convergência é
.
Resposta
O raio de convergência da série é
e o intervalo de convergência é
.