(PrincĂpio de superposição) Se
e
são soluçães de
e
, respectivamente, mostre que
é solução de
. Use este fato para resolver:
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre primeiro o Princípio de Superposição para equações diferenciais lineares de 2º ordem e depois use isso para resolver a EDO
y’’+y=\cos x+8x^2.
O conteúdo é equação diferencial linear não-homogênea de 2ª ordem e vamos usar a linearidade do operador L[y]=y’’+y, além de técnicas de solução da homogênea e de coeficientes não-determinados.
y’’+y=\cos x+8x^2.
O conteúdo é equação diferencial linear não-homogênea de 2ª ordem e vamos usar a linearidade do operador L[y]=y’’+y, além de técnicas de solução da homogênea e de coeficientes não-determinados.
Passo 2
Definimos o operador L[y]=y’’+f(x)y’+g(x)y. Como L é linear, se L[y_1]=h_1 e L[y_2]=h_2, então
L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2]=h_1+h_2.
Isto é o Princípio de Superposição.
L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2]=h_1+h_2.
Isto é o Princípio de Superposição.
Passo 3
No nosso caso f(x)=0 e g(x)=1, então L[y]=y’’+y. Vamos decompor h(x)=\cos x+8x^2 em h_1=\cos x e h_2=8x^2 e achar soluções y_{p1} e y_{p2} tais que L[y_{p1}]=h_1 e L[y_{p2}]=h_2. A solução geral será
y=y_h+y_{p1}+y_{p2}.
y=y_h+y_{p1}+y_{p2}.
Passo 4
Primeiro, a parte homogênea L[y_h]=0 é
y’’+y=0,
cuja solução geral é
y’’+y=0,
cuja solução geral é
Passo 5
Para h_1=\cos x temos ressonância (cos x é solução da homogênea), então assumimos
$$y_{p1}=x(A\cos x+B\sin x).
$$y’’_{p1}=-2A\sin x+2B\cos x+x(-A\cos x-B\sin x).
Passo 6
Para h_2=8x^2 usamos coeficientes não-determinados polinomial de grau 2:
Então
$$L[y_{p2}]=y’’{p2}+y{p2}=ax^2+bx+(2a+c).
Resposta
y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{x}{2}\sin x+8x^2-16