(Princípio de superposição) Se y1 e y2 são soluçães de y^prime prime+f(x) y^prime+g(x) y=h1 e y^prime prime+f(x) y^prime+ g(x) y=h2, respectivamente, mostre que y=y1+y2 é solução de y^prime prime+f(x) y^prime+g(x) y=h1+h2. Use este fato para resolver:
y^prime prime+y=cos x+8 x^2

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre primeiro o Princípio de Superposição para equações diferenciais lineares de 2º ordem e depois use isso para resolver a EDO
y’’+y=\cos x+8x^2.
O conteúdo é equação diferencial linear não-homogênea de 2ª ordem e vamos usar a linearidade do operador L[y]=y’’+y, além de técnicas de solução da homogênea e de coeficientes não-determinados.

Passo 2

Definimos o operador L[y]=y’’+f(x)y’+g(x)y. Como L é linear, se L[y_1]=h_1 e L[y_2]=h_2, então
L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2]=h_1+h_2.
Isto é o Princípio de Superposição.

Passo 3

No nosso caso f(x)=0 e g(x)=1, então L[y]=y’’+y. Vamos decompor h(x)=\cos x+8x^2 em h_1=\cos x e h_2=8x^2 e achar soluções y_{p1} e y_{p2} tais que L[y_{p1}]=h_1 e L[y_{p2}]=h_2. A solução geral será
y=y_h+y_{p1}+y_{p2}.

Passo 4

Primeiro, a parte homogênea L[y_h]=0 é
y’’+y=0,
cuja solução geral é
yh=C1cos x+C2sin x

Passo 5

Para h_1=\cos x temos ressonância (cos x é solução da homogênea), então assumimos
$$y_{p1}=x(A\cos x+B\sin x).
yp1=x(Acos x+Bsin x) y’_{p1}=A\cos x+B\sin x+x(-A\sin x+B\cos x),$$
$$y’’_{p1}=-2A\sin x+2B\cos x+x(-A\cos x-B\sin x).
y'p1=Acos x+Bsin x+x(-Asin x+Bcos x),L[y_{p1}]=y’’{p1}+y{p1}=-2A\sin x+2B\cos x.
y''p1=-2Asin x+2Bcos x+x(-Acos x-Bsin x) y_{p1}=\frac{x}{2}\sin x.$$

Passo 6

Para h_2=8x^2 usamos coeficientes não-determinados polinomial de grau 2:
yp2=ax^2+bx+c
Então
y'p2=2ax+b,
y''p2=2a,
$$L[y_{p2}]=y’’{p2}+y{p2}=ax^2+bx+(2a+c).
L[yp2]=y''p2+yp2=ax^2+bx+(2a+c) y_{p2}=8x^2-16.$$

Resposta

y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{x}{2}\sin x+8x^2-16

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