Encontre o comprimento dos arcos das curvas sobre o correspondente intervalos.
y=x^22-ln x4, x in[2,3]

Passo 1

Temos a curva y = x^22 - ln x4 no intervalo [2,3]. O conteúdo é comprimento de arco de função de uma variável, e vamos precisar da fórmula L = integrala^b raiz1 + (y')^2,dx bem como de derivadas.

Passo 2

Calculamos a derivada y'. Derivando termo a termo: derivada de tfracx^22 é x e de -tfracln x4 é -tfrac14x. Assim, temos
y' = x - 14x = 4x^2 - 14x

Passo 3

Substituímos em L = integral2^3 raiz1 + (y')^2,dx e simplificamos o radicando:
(y')^2 = (4x^2 - 1)^216x^2,
1 + (y')^2 = 16x^2 + (4x^2 - 1)^216x^2 = 16x^4 + 8x^2 + 116x^2 = (4x^2 + 1)^216x^2
Logo
raiz1 + (y')^2 = 4x^2 + 14x
Então
L = integral2^3 4x^2 + 14x,dx = 14integral2^3 l(4x + 1xr),dx

Passo 4

Integramos:
integral l(4x + 1xr),dx = 2x^2 + ln x
Portanto
L = 14l[2x^2 + ln xr]2^3 = 14l((18 + ln 3) - (8 + ln 2)r) = 10 + ln(3/2)4

Resposta

L = 10 + lnl(tfrac32r)4.

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