Encontre o comprimento dos arcos das curvas sobre o correspondente intervalos.
12 x y-4 y^4=3 de a

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva implícita 12xy - 4y^4 = 3 indo do ponto (7/12,1) até (67/24,2). O conteúdo é comprimento de arco de uma curva dada implicitamente e vamos precisar parametrizar em função de y e usar a fórmula L=integrala^braizl(x'(y)r)^2+1,dy.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação para x em função de y:
12x y - 4y^4 = 3
12xy = 3 + 4y^4
x(y) = 3 + 4y^412y = y^33 + 14y

Passo 3

Agora parametricamente temos x = x(y) e y = y, com y variando de 1 a 2. Calculamos a derivada:
x'(y) = ddyl(y^33 + 14yr) = y^2 - 14y^2

Passo 4

O elemento de comprimento é
raiz(x')^2 + l(tfracdydyr)^2 = raizl(y^2 - 14y^2r)^2 + 1
Expandindo e somando +1, vemos que isso forma a identidade
l(y^2 - 14y^2r)^2 + 1 = l(y^2 + 14y^2r)^2,
o que simplifica a raiz para
raizl(y^2 + tfrac14y^2r)^2 = y^2 + 14y^2

Passo 5

Logo, o comprimento fica
L = integraly=1^y=2 l(y^2 + 14y^2r) ,dy
Integramos em partes simples:
integral y^2 ,dy = y^33,
integral 14y^2 ,dy = 14integral y^-2 ,dy = -14y
Avalia de 1 a 2:
l(y^33 - 14yr)|1^2 = l(83 - 18r) - l(13 - 14r) = 6124 - 112 = 5924

Passo 6

Portanto, o comprimento do arco é 5924.

Resposta

5924

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