O enunciado pede para verificar se a série converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão comparando termos adjacentes.
Passo 2
Definimos . Para grandes , o numerador e o denominador polinomiais têm o mesmo grau (grau 2), então intuitivamente
ao analisarmos apenas o crescimento exponencial temos , o que sugere convergência semelhante a uma série geométrica de razão .
Passo 3
Aplicamos o teste da razão, que diz que se
existe e L<1, então a série converge absolutamente. Vamos calcular: an+1an = 2(n+1)^2+7(n+1)3^n+1((n+1)^2+5(n+1)-1)2n^2+7n3^n(n^2+5n-1) = 13 cdot (2(n+1)^2+7(n+1))(n^2+5n-1)((n+1)^2+5(n+1)-1)(2n^2+7n)
Passo 4
Agora avaliamos o limite para ntoinfty. Como os termos quadráticos dominam em numerador e denominador do fator racional, temos