Verifique se a série converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty 2 n^2+7 n3^n(n^2+5 n-1) converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão comparando termos adjacentes.

Passo 2

Definimos an = 2 n^2+7 n3^n(n^2+5 n-1). Para grandes n, o numerador e o denominador polinomiais têm o mesmo grau (grau 2), então intuitivamente
ao analisarmos apenas o crescimento exponencial temos anapprox 2n^23^n n^2=23^n, o que sugere convergência semelhante a uma série geométrica de razão 1/3.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, que diz que se
L = limntoinfty |an+1an|,
existe e L<1, então a série converge absolutamente. Vamos calcular:
an+1an = 2(n+1)^2+7(n+1)3^n+1((n+1)^2+5(n+1)-1)2n^2+7n3^n(n^2+5n-1) = 13 cdot (2(n+1)^2+7(n+1))(n^2+5n-1)((n+1)^2+5(n+1)-1)(2n^2+7n)

Passo 4

Agora avaliamos o limite para ntoinfty. Como os termos quadráticos dominam em numerador e denominador do fator racional, temos
limntoinfty (2(n+1)^2+7(n+1))(n^2+5n-1)((n+1)^2+5(n+1)-1)(2n^2+7n) = 1

Passo 5

Logo
L = limntoinfty an+1an = 13 < 1

Passo 6

Pelo teste da razão, concluímos que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

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