Encontre o comprimento dos arcos das curvas sobre o correspondente intervalos.
y^3=8 x^2 de (1,2) a (8,8)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento de arco da curva definida por y^3 = 8x^2 entre os pontos (1,2) e (8,8). O conteúdo envolvido é comprimento de arco de uma curva y=f(x), para o qual vamos precisar da fórmula ds=raiz1+l(y'r)^2,dx.

Passo 2

Primeiro, expressamos a curva como função de x. Da equação y^3=8x^2 segue
y = (8x^2)^1/3 = 2x^2/3

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada y'=dydx para usar na fórmula do comprimento de arco:
y' = 2 cdot 23x^-1/3 = 43x^-1/3

Passo 4

Agora montamos o integral do comprimento de arco
L = integralx=1^x=8 raiz1 + l(y'r)^2;dx = integral1^8 raiz1 + 169x^-2/3;dx

Passo 5

Para simplificar o integrando, note que
1 + 169x^-2/3 = 9x^2/3 + 169x^2/3,
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raiz1 + 169x^-2/3 = raiz9x^2/3 + 163x^1/3

Passo 6

Fazemos a substituição auxiliar t = x^1/3, assim x=t^3 e dx = 3t^2,dt. Os limites mudam para t(1)=1 e t(8)=2. O integrando fica:
L = integralt=1^t=2 raiz9t^2+163t cdot 3t^2,dt = integral1^2 traiz9t^2+16;dt

Passo 7

Para calcular integral traiz9t^2+16,dt, usamos a substituição w = 9t^2+16, de modo que dw = 18t,dt ou t,dt = dw18. Os novos limites são w(1)=25 e w(2)=52. Assim
L = integral25^52 raizw;dw18 = 118 integral25^52 w^1/2,dw = 118 cdot 23l[w^3/2r]25^52 = 127l(52^3/2 - 25^3/2r)

Passo 8

Por fim, escrevendo 25^3/2=125 e 52^3/2=104raiz13, obtemos o resultado exato:

Passo 9

Resposta

L = dfrac104raiz13 - 12527 unidades de comprimento

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