Encontre o comprimento dos arcos das curvas sobre o correspondente intervalos.
de
a
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o comprimento de arco da curva definida por
entre os pontos
e
. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de uma curva
, para o qual vamos precisar da fórmula
.
Passo 2
Primeiro, expressamos a curva como função de
. Da equação
segue
Passo 3
Em seguida, calculamos a derivada
para usar na fórmula do comprimento de arco:
Passo 4
Agora montamos o integral do comprimento de arco
Passo 5
Para simplificar o integrando, note que
logo
Passo 6
Fazemos a substituição auxiliar
, assim
e
. Os limites mudam para
e
. O integrando fica:
Passo 7
Para calcular
, usamos a substituição
, de modo que
ou
. Os novos limites são
e
. Assim
Passo 8
Por fim, escrevendo
e
, obtemos o resultado exato: