Nos Problemas 7-16, use (1), (2) ou (4) para calcular o resíduo em cada polo da função dada.

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular o resíduo de f(z)=sec z em cada polo usando fórmulas de polos simples (item (1), (2) ou (4)). O conteúdo é cálculo de resíduo em função meromorfa, e vamos usar a definição de resíduo para polos simples.

Passo 2

Encontrar os polos: como sec z = 1/cos z, os polos ocorrem onde cos z=0. Resolvendo cos z=0 obtemos z0=(2k+1)pi/2, com kinZ.

Passo 3

Verificar que são polos simples: como cos z tem zeros simples em z0 (pois sin((2k+1)pi/2)=(-1)^kneq 0), concluímos que sec z tem polos simples em cada z0.

Passo 4

Aplicar a fórmula de resíduo para polo simples: se f(z)=1/g(z) e g(z0)=0, g'(z0)neq 0, então Res(f,z0)=1/g'(z0). Aqui g(z)=cos z, logo g'(z)=-sin z.

Passo 5

Calcular g'(z0): usando sin((2k+1)pi/2)=(-1)^k obtemos g'(z0)=-sin(z0)=-(-1)^k =(-1)^k+1. Então Res(sec z,z0)=1/((-1)^k+1) = (-1)^k+1.

Resposta

Em cada polo z0=(2k+1)pi/2, com kinZ, temos Res(sec z,z0) = (-1)^k+1.

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