Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas duranto o intervalo de tempo especificado em cada um dos itens a seguir:
sigma(t)=(2 cos t+2 t sen t, 2 sen t-2 t cos t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
sigma(t) = (,2cos t + 2tsin t,;2sin t - 2tcos t), 0<= t<= 2pi
e pede o comprimento de arco percorrido nesse intervalo. O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de curva paramétrica, usando a fórmula
L = integrala^bl|sigma'(t)r|,dt

Passo 2

Vamos achar a derivada componente a componente. Se x(t)=2cos t + 2tsin t e y(t)=2sin t - 2tcos t, então
x'(t) = -2sin t + 2sin t + 2tcos t = 2tcos t,
y'(t) = 2cos t -l(2cos t - 2tsin tr) = 2tsin t
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sigma'(t) = l(2tcos t,;2tsin tr)

Passo 3

Calculamos a norma de sigma'(t):
l|sigma'(t)r| = raiz(2tcos t)^2 + (2tsin t)^2 = raiz4t^2(cos^2 t + sin^2 t) = 2t,
valendo para t>=0.

Passo 4

Agora integramos de 0 a 2pi:
L = integral0^2pi 2t,dt = l[t^2r]0^2pi = (2pi)^2 - 0 = 4pi^2

Resposta

O comprimento do caminho é 4pi^2.

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