Use frações parciais para determinar as seguintes integrais.
integral 5 t^2+11 t+17t^3+5 t^2+4 t+20 d t integral x^6-x^3+1x^4-9 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais
integral 5t^2+11t+17t^3+5t^2+4t+20,dt e
integral x^6-x^3+1x^4-9x^2,dx
usando decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar os denominadores, escrever cada integrando como soma de termos mais simples e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro integrando:
Denominador
t^3+5t^2+4t+20 = (t+5)(t^2+4)
Logo fazemos
5t^2+11t+17(t+5)(t^2+4) = At+5 + Bt + Ct^2+4
Multiplicando por (t+5)(t^2+4) e igualando coeficientes, obtemos o sistema
A + B = 5, 5B + C = 11, 4A + 5C = 17

Passo 3

Resolvendo A+B=5, 5B+C=11 e 4A+5C=17 encontramos
A=3, B=2, C=1
Portanto
5t^2+11t+17(t+5)(t^2+4) = 3t+5 + 2t+1t^2+4

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral 3t+5,dt = 3lnlvert t+5rvert, integral 2tt^2+4,dt = lnl(t^2+4r), integral 1t^2+4,dt = 12arctan!l(tfract2r)
Assim a primeira integral vale
I1 = 3lnlvert t+5rvert ;+;lnl(t^2+4r);+;tfrac12,arctan!l(tfract2r);+;C1

Passo 5

Segundo integrando:
x^6-x^3+1x^4-9x^2 é impróprio (grau ­6 no numerador e grau 4 no denominador), então dividimos:
x^6-x^3+1x^4-9x^2 = x^2+9 ;+;-x^3+81x^2+1x^2(x-3)(x+3)

Passo 6

Decompondo o resto
-x^3+81x^2+1x^2(x-3)(x+3) = Ax + Bx^2 + Cx-3 + Dx+3,
multiplicamos por x^2(x-3)(x+3) e igualamos coeficientes para obter
A=0, B=-tfrac19, C=tfrac70354, D=-tfrac75754

Passo 7

Reescrevendo o integrando completo e integrando termo a termo:
integrall(x^2+9r),dx = tfracx^33 + 9x, integral -1/9x^2,dx = 19x,
integral 703/54x-3,dx = 70354lnlvert x-3rvert, integral -757/54x+3,dx = -75754lnlvert x+3rvert
Portanto a segunda integral é
I2 = x^33 ;+; 9x ;+; 19x ;+;70354lnlvert x-3rvert ;-;75754lnlvert x+3rvert ;+;C2

Resposta

integral 5t^2+11t+17t^3+5t^2+4t+20,dt = 3lnlvert t+5rvert + lnl(t^2+4r) + tfrac12,arctan!l(tfract2r) + C
integral x^6-x^3+1x^4-9x^2,dx = x^33 + 9x + 19x + 70354lnlvert x-3rvert - 75754lnlvert x+3rvert + C

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