Use frações parciais para determinar as seguintes integrais.
integral z^3+3 z-2z^2-z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral z^3+3z-2z^2-z,dz
usando frações parciais. O conteúdo envolvido é divisão de polinômios para obter uma parte polinomial mais um quociente próprio, seguido de decomposição em frações parciais e integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão de polinômios entre o numerador z^3+3z-2 e o denominador z^2-z.
O quociente é z+1 e o resto é 4z-2, pois
z^3+3z-2 = (z+1)(z^2-z) + (4z-2)
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z^3+3z-2z^2-z = z+1 + 4z-2z(z-1)

Passo 3

Agora decompondo
4z-2z(z-1) = Az + Bz-1
Temos
4z-2 = A(z-1) + Bz = (A+B)z - A
Comparando coeficientes,
A + B = 4, -A = -2 implies A=2,
portanto B=2. Então
4z-2z(z-1) = 2z + 2z-1

Passo 4

Reescrevendo o integrando:
z^3+3z-2z^2-z = z + 1 + 2z + 2z-1
Integramos termo a termo:
integral z,dz = z^22, integral 1,dz = z, integral 2z,dz = 2lnl|zr|, integral 2z-1,dz = 2lnl|z-1r|

Resposta

z^22 + z + 2lnl|zr| + 2lnl|z-1r| + C

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